人邮高数 第1章 第1-1-9题
📝 题目
9．设 $f(x)=\sqrt{x^{2}-1}, g(x)=\sqrt{1-x^{2}}$ ，求 $f[g(x)], g[f(x)]$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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首先，已知
$$f(x)=\sqrt{x^{2}-1},\quad g(x)=\sqrt{1-x^{2}}.$$
**第一步：求 $f[g(x)]$**
由复合函数定义：
$$f[g(x)] = f\left(\sqrt{1-x^{2}}\right) = \sqrt{\left(\sqrt{1-x^{2}}\right)^{2} - 1}.$$
计算内层平方：
$$\left(\sqrt{1-x^{2}}\right)^{2} = 1 - x^{2}.$$
于是
$$f[g(x)] = \sqrt{(1 - x^{2}) - 1} = \sqrt{-x^{2}}.$$
要使表达式在实数范围内有意义，需满足 $-x^{2} \ge 0$，即 $x=0$。此时
$$f[g(0)] = \sqrt{0} = 0.$$
因此，在实数范围内，$f[g(x)]$ 仅在 $x=0$ 处有定义，且值为 $0$。
**第二步：求 $g[f(x)]$**
由复合函数定义：
$$g[f(x)] = g\left(\sqrt{x^{2}-1}\right) = \sqrt{1 - \left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}}.$$
计算内层平方：
$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2} = x^{2} - 1.$$
于是
$$g[f(x)] = \sqrt{1 - (x^{2} - 1)} = \sqrt{2 - x^{2}}.$$
要使表达式在实数范围内有意义，需满足 $2 - x^{2} \ge 0$，即 $|x| \le \sqrt{2}$。同时 $f(x)$ 本身要求 $x^{2} - 1 \ge 0$，即 $|x| \ge 1$。
因此 $g[f(x)]$ 的定义域为 $1 \le |x| \le \sqrt{2}$，表达式为 $\sqrt{2 - x^{2}}$。
最终答案：
$$f[g(x)] = \sqrt{-x^{2}},\quad \text{仅在 }x=0\text{ 时有定义，值为 }0;$$
$$g[f(x)] = \sqrt{2 - x^{2}},\quad \text{定义域为 }1 \le |x| \le \sqrt{2}.$$