人邮高数 第3章 第3-1-7题

[AI解答]

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已知 $F'(x) = \frac{\cos 2x}{\sin^2 2x}$，且 $F\left(\frac{\pi}{4}\right) = -1$。
要求 $F(x)$，需对导数进行积分：

$$
F(x) = \int \frac{\cos 2x}{\sin^2 2x} \, dx
$$

令 $u = \sin 2x$，则
$du = 2\cos 2x \, dx$，即 $\cos 2x \, dx = \frac{du}{2}$。

代入积分：

$$
F(x) = \int \frac{1}{u^2} \cdot \frac{du}{2}
= \frac12 \int u^{-2} \, du
= \frac12 \cdot (-u^{-1}) + C
= -\frac{1}{2u} + C
$$

将 $u = \sin 2x$ 代回：

$$
F(x) = -\frac{1}{2\sin 2x} + C
$$

利用条件 $F\left(\frac{\pi}{4}\right) = -1$，
当 $x = \frac{\pi}{4}$ 时，$\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = \sin\frac{\pi}{2} = 1$，
代入得：

$$
-1 = -\frac{1}{2 \cdot 1} + C
\Rightarrow -1 = -\frac12 + C
\Rightarrow C = -\frac12
$$

因此所求函数为：

$$
\boxed{F(x) = -\frac{1}{2\sin 2x} - \frac12}
$$

难度：★★☆☆☆