人邮高数 第3章 第3-3-1题
📝 题目
1．求下列有理函数的积分．
（1） $\displaystyle{\int} \frac{1}{x(x-3)} \mathrm{d} x$ ；
（2） $\displaystyle{\int} \frac{1}{x^{2}-4} \mathrm{~d} x$ ；
（3） $\displaystyle{\int} \frac{2 x+1}{x^{2}+2 x-15} \mathrm{~d} x$ ；
（4） $\displaystyle{\int} \frac{1}{4 x^{2}+4 x+10} \mathrm{~d} x$ ；
（5） $\displaystyle{\int} \frac{x-2}{x^{2}+2 x+3} \mathrm{~d} x$ ；
（6） $\displaystyle{\int} \frac{1}{x\left(x^{2}+1\right)} \mathrm{d} x$ ；
（7） $\displaystyle{\int} \frac{x}{x^{3}-1} \mathrm{~d} x$ ；
（8） $\displaystyle{\int} \frac{1}{x^{4}-1} \mathrm{~d} x$ ；
（9） $\displaystyle{\int} \frac{2 x-5}{(x-1)^{2}(x+2)} \mathrm{d} x$ ；
（10） $\displaystyle{\int} \frac{x^{3}+2 x^{2}+12 x+11}{x^{2}+2 x+10} \mathrm{~d} x$ ；
（11） $\displaystyle{\int} \frac{x^{2}+x}{(x-2)^{2}} \mathrm{~d} x$ ；
（12） $\displaystyle{\int} \frac{x^{4}}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
以下是习题3-3中12道有理函数积分的详细解答。
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（1）
$$
\int \frac{1}{x(x-3)} \, dx
$$
部分分式分解：
$$
\frac{1}{x(x-3)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-3}
$$
解得 $A = -\frac13,\ B = \frac13$。
所以
$$
\int \frac{1}{x(x-3)} dx = -\frac13 \ln|x| + \frac13 \ln|x-3| + C = \frac13 \ln\left|\frac{x-3}{x}\right| + C
$$
---
（2）
$$
\int \frac{1}{x^2-4} dx
$$
分解：
$$
\frac{1}{(x-2)(x+2)} = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2}\right)
$$
积分得：
$$
\frac14 \ln\left|\frac{x-2}{x+2}\right| + C
$$
---
（3）
$$
\int \frac{2x+1}{x^2+2x-15} dx
$$
分母因式分解：$(x+5)(x-3)$。
设
$$
\frac{2x+1}{(x+5)(x-3)} = \frac{A}{x+5} + \frac{B}{x-3}
$$
解得 $A = \frac{9}{8},\ B = \frac{7}{8}$。
积分：
$$
\frac{9}{8}\ln|x+5| + \frac{7}{8}\ln|x-3| + C
$$
---
（4）
$$
\int \frac{1}{4x^2+4x+10} dx
$$
配方：
$$
4x^2+4x+10 = 4\left(x^2 + x + \frac{5}{2}\right) = 4\left[\left(x+\frac12\right)^2 + \frac94\right]
$$
所以
$$
\int \frac{1}{4x^2+4x+10} dx = \frac14 \int \frac{1}{(x+\frac12)^2 + \frac94} dx
$$
令 $u = x+\frac12$，得
$$
\frac14 \cdot \frac{1}{\frac32} \arctan\left(\frac{2u}{3}\right) = \frac16 \arctan\left(\frac{2x+1}{3}\right) + C
$$
---
（5）
$$
\int \frac{x-2}{x^2+2x+3} dx
$$
分母配方：$(x+1)^2+2$。
分子改写：
$$
x-2 = \frac12(2x+2) - 3 = \frac12(2x+2) - 3
$$
所以
$$
\int \frac{x-2}{x^2+2x+3} dx = \frac12 \int \frac{2x+2}{x^2+2x+3} dx - 3\int \frac{1}{(x+1)^2+2} dx
$$
第一项：$\frac12 \ln|x^2+2x+3|$
第二项：$-3\cdot \frac{1}{\sqrt2} \arctan\frac{x+1}{\sqrt2}$
结果：
$$
\frac12 \ln(x^2+2x+3) - \frac{3}{\sqrt2} \arctan\frac{x+1}{\sqrt2} + C
$$
---
（6）
$$
\int \frac{1}{x(x^2+1)} dx
$$
部分分式：
$$
\frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{1}{x} - \frac{x}{x^2+1}
$$
积分：
$$
\ln|x| - \frac12 \ln(x^2+1) + C = \frac12 \ln\frac{x^2}{x^2+1} + C
$$
---
（7）
$$
\int \frac{x}{x^3-1} dx
$$
分解：
$$
\frac{x}{(x-1)(x^2+x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+x+1}
$$
解得 $A = \frac13,\ B = -\frac13,\ C = \frac13$。
积分：
第一项：$\frac13 \ln|x-1|$
第二项：
$$
-\frac13 \int \frac{x-1}{x^2+x+1} dx
$$
分子改写：$x-1 = \frac12(2x+1) - \frac32$
所以
$$
-\frac13\left[ \frac12 \ln(x^2+x+1) - \frac32 \int \frac{1}{(x+\frac12)^2 + \frac34} dx \right]
$$
而
$$
\int \frac{1}{(x+\frac12)^2 + \frac34} dx = \frac{2}{\sqrt3} \arctan\frac{2x+1}{\sqrt3}
$$
合并得：
$$
\frac13 \ln|x-1| - \frac16 \ln(x^2+x+1) + \frac{1}{\sqrt3} \arctan\frac{2x+1}{\sqrt3} + C
$$
---
（8）
$$
\int \frac{1}{x^4-1} dx
$$
分解：
$$
\frac{1}{(x^2-1)(x^2+1)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x^2-1} - \frac{1}{x^2+1}\right)
$$
而
$$
\frac{1}{x^2-1} = \frac12\left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}\right)
$$
所以
$$
\int \frac{1}{x^4-1} dx = \frac14 \ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| - \frac12 \arctan x + C
$$
---
（9）
$$
\int \frac{2x-5}{(x-1)^2(x+2)} dx
$$
设
$$
\frac{2x-5}{(x-1)^2(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{C}{x+2}
$$
解得 $A = -\frac{1}{3},\ B = -1,\ C = \frac13$。
积分：
$$
-\frac13 \ln|x-1| - \int \frac{1}{(x-1)^2} dx + \frac13 \ln|x+2|
$$
而
$$
\int \frac{1}{(x-1)^2} dx = -\frac{1}{x-1}
$$
所以结果为：
$$
-\frac13 \ln|x-1| + \frac{1}{x-1} + \frac13 \ln|x+2| + C
$$
---
（10）
$$
\int \frac{x^3+2x^2+12x+11}{x^2+2x+10} dx
$$
多项式除法：
商为 $x$，余数为 $2x+11$。
所以
$$
\int \left( x + \frac{2x+11}{x^2+2x+10} \right) dx
$$
分母配方：$(x+1)^2+9$。
分子改写：$2x+11 = 2(x+1) + 9$
所以
$$
\int \frac{2x+11}{x^2+2x+10} dx = \ln(x^2+2x+10) + 9 \cdot \frac13 \arctan\frac{x+1}{3}
$$
最终：
$$
\frac{x^2}{2} + \ln(x^2+2x+10) + 3\arctan\frac{x+1}{3} + C
$$
---
（11）
$$
\int \frac{x^2+x}{(x-2)^2} dx
$$
多项式除法：
$$
\frac{x^2+x}{(x-2)^2} = 1 + \frac{5x-4}{(x-2)^2}
$$
再分解：
$$
\frac{5x-4}{(x-2)^2} = \frac{5}{x-2} + \frac{6}{(x-2)^2}
$$
积分：
$$
x + 5\ln|x-2| - \frac{6}{x-2} + C
$$
---
（12）
$$
\int \frac{x^4}{(1+x^2)^2} dx
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分解被积函数为部分分式
将1/(x(x-3))分解为A/x + B/(x-3)，解得A=-1/3，B=1/3。
公式：1/(x(x-3)) = -1/(3x) + 1/(3(x-3))
提示：对于分母为一次因式乘积的有理函数，直接设部分分式并求解系数。
步骤 2/3
目标：分别积分
∫(-1/(3x))dx = -1/3 ln|x|，∫(1/(3(x-3)))dx = 1/3 ln|x-3|。
公式：∫(1/x)dx = ln|x| + C
提示：注意绝对值符号。
步骤 3/3
目标：合并结果
原积分 = -1/3 ln|x| + 1/3 ln|x-3| + C = 1/3 ln|(x-3)/x| + C。
提示：利用对数性质合并。
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