人邮高数 第3章 第3-3-3题

[AI解答]

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以下是习题3-3中7个无理函数不定积分的详细解答。

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（1）$\displaystyle{\int} \frac{1}{x} \sqrt{\frac{x+1}{x-1}} \mathrm{~d} x$

解：令 $\displaystyle t = \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}$，则
$\displaystyle t^2 = \frac{x+1}{x-1}$，解得
$\displaystyle x = \frac{t^2+1}{t^2-1}$，
$\displaystyle \mathrm{d}x = \frac{-4t}{(t^2-1)^2} \mathrm{d}t$。

原积分化为：
$$
\int \frac{1}{x} t \cdot \mathrm{d}x
= \int \frac{t^2-1}{t^2+1} \cdot t \cdot \frac{-4t}{(t^2-1)^2} \mathrm{d}t
= \int \frac{-4t^2}{(t^2+1)(t^2-1)} \mathrm{d}t
$$
分解为部分分式：
$$
\frac{-4t^2}{(t^2+1)(t^2-1)} = \frac{A}{t-1} + \frac{B}{t+1} + \frac{Ct+D}{t^2+1}
$$
求得：
$$
= \frac{-2}{t-1} + \frac{2}{t+1} + \frac{-2}{t^2+1}
$$
积分得：
$$
-2\ln|t-1| + 2\ln|t+1| - 2\arctan t + C
= 2\ln\left|\frac{t+1}{t-1}\right| - 2\arctan t + C
$$
代回 $\displaystyle t = \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}$，得：
$$
\boxed{2\ln\left|\frac{\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}+1}{\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}-1}\right| - 2\arctan\sqrt{\frac{x+1}{x-1}} + C}
$$

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（2）$\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{(x-a)(b-x)}} \quad (a \neq b)$

解：配方：
$$
(x-a)(b-x) = -(x-a)(x-b) = -\left[x^2 - (a+b)x + ab\right]
$$
$$
= \left(\frac{b-a}{2}\right)^2 - \left(x - \frac{a+b}{2}\right)^2
$$
令 $\displaystyle t = \frac{2x - (a+b)}{b-a}$，则 $\displaystyle \mathrm{d}x = \frac{b-a}{2} \mathrm{d}t$，根号内变为 $\displaystyle \frac{(b-a)^2}{4}(1-t^2)$。

积分化为：
$$
\int \frac{\frac{b-a}{2} \mathrm{d}t}{\frac{|b-a|}{2}\sqrt{1-t^2}} = \int \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1-t^2}} = \arcsin t + C
$$
代回：
$$
\boxed{\arcsin\left(\frac{2x-a-b}{b-a}\right) + C}
$$

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（3）$\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1+\mathrm{e}^{x}}}$

解：令 $t = \sqrt{1+e^x}$，则 $e^x = t^2 - 1$，$x = \ln(t^2-1)$，
$\displaystyle \mathrm{d}x = \frac{2t}{t^2-1} \mathrm{d}t$。
原积分：
$$
\int \frac{1}{t} \cdot \frac{2t}{t^2-1} \mathrm{d}t = \int \frac{2}{t^2-1} \mathrm{d}t
= \ln\left|\frac{t-1}{t+1}\right| + C
$$
代回：
$$
\boxed{\ln\left|\frac{\sqrt{1+e^x}-1}{\sqrt{1+e^x}+1}\right| + C}
$$

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（4）$\displaystyle{\int} \frac{\ln x}{x \sqrt{1+\ln x}} \mathrm{~d} x$

解：令 $t = \sqrt{1+\ln x}$，则 $\ln x = t^2 - 1$，
$\displaystyle \frac{1}{x}\mathrm{d}x = \mathrm{d}(\ln x) = 2t \mathrm{d}t$。
原积分：
$$
\int \frac{t^2-1}{t} \cdot 2t \mathrm{d}t = 2\int (t^2-1) \mathrm{d}t = 2\left(\frac{t^3}{3} - t\right) + C
$$
代回：
$$
\boxed{\frac{2}{3}(1+\ln x)^{3/2} - 2\sqrt{1+\ln x} + C}
$$

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（5）$\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt[3]{(x-1)(x+1)^{2}}}$

解：令 $\displaystyle t = \sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}}$，则
$\displaystyle t^3 = \frac{x+1}{x-1}$，解得
$\displaystyle x = \frac{t^3+1}{t^3-1}$，
$\displaystyle \mathrm{d}x = \frac{-6t^2}{(t^3-1)^2} \mathrm{d}t$。
原积分：
$$
\int \frac{1}{\sqrt[3]{(x-1)(x+1)^2}} \mathrm{d}x
= \int \frac{1}{(x-1)\sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}}^2} \mathrm{d}x
$$
代入 $\displaystyle x-1 = \frac{2}{t^3-1}$，$\displaystyle \sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}}^2 = t^2$，
得：
$$
\int \frac{t^3-1}{2} \cdot \frac{1}{t^2} \cdot \frac{-6t^2}{(t^3-1)^2} \mathrm{d}t
= \int \frac{-3}{t^3-1} \mathrm{d}t
$$
分解：
$$
\frac{-3}{t^3-1} = \frac{1}{t-1} - \frac{t+2}{t^2+t+1}
$$
积分得：
$$
\ln|t-1| - \frac{1}{2}\ln(t^2+t+1) - \sqrt{3}\arctan\frac{2t+1}{\sqrt{3}} + C
$$
代回 $\displaystyle t = \sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}}$，得：
$$
\boxed{\ln\left|\sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}}-1\right| - \frac{1}{2}\ln\left(\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{2/3}+\sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}}+1\right) - \sqrt{3}\arctan\frac{2\sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}}+1}{\sqrt{3}} + C}
$$

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（6）$\displaystyle{\int} \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt[3]{x+1}} \mathrm{~d} x$

解：令 $t = \sqrt[6]{x+1}$，则 $x+1 = t^6$，$\mathrm{d}x = 6t^5 \mathrm{d}t$，
$\sqrt{x+1} = t^3$，$\sqrt[3]{x+1} = t^2$。
原积分：
$$
\int \frac{6t^5}{t^3+t^2} \mathrm{d}t = 6\int \frac{t^3}{t+1} \mathrm{d}t
$$
做多项式除法：$t^3 = (t+1)(t^2 - t + 1) - 1$，
所以：
$$
6\int \left(t^2 - t + 1 - \frac{1}{t+1}\right) \mathrm{d}t
= 6\left(\frac{t^3}{3} - \frac{t^2}{2} + t - \ln|t+1|\right) + C
$$
代回 $t = \sqrt[6]{x+1}$：
$$
\boxed{2\sqrt{x+1} - 3\sqrt[3]{x+1} + 6\sqrt[6]{x+1} - 6\ln\left(\sqrt[6]{x+1}+1\right) + C}
$$

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（7）$\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1+x-x^{2}}}$

解：配方：
$$
1+x-x^2 = -\left(x^2 - x - 1\right) = -\left[\left(x-\frac12