人邮高数 第3章 第3-4-*1题

[AI解答]

[AI解答]

（1） 计算 $\displaystyle{\int}_{0}^{4}(2x+3) \mathrm{d}x$

步骤1：划分区间
将区间 $[0,4]$ 分成 $n$ 等分，每个小区间长度为
$$
\Delta x = \frac{4-0}{n} = \frac{4}{n}.
$$

步骤2：取右端点
第 $i$ 个小区间的右端点为
$$
x_i = 0 + i \cdot \frac{4}{n} = \frac{4i}{n}, \quad i = 1,2,\dots,n.
$$

步骤3：构造黎曼和
函数 $f(x)=2x+3$ 在右端点的值为
$$
f(x_i) = 2 \cdot \frac{4i}{n} + 3 = \frac{8i}{n} + 3.
$$
黎曼和为
$$
S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x
= \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{8i}{n} + 3 \right) \cdot \frac{4}{n}
= \frac{4}{n} \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{8i}{n} + 3 \right).
$$

步骤4：求和
拆开求和：
$$
S_n = \frac{4}{n} \left( \frac{8}{n} \sum_{i=1}^{n} i + \sum_{i=1}^{n} 3 \right)
= \frac{4}{n} \left( \frac{8}{n} \cdot \frac{n(n+1)}{2} + 3n \right).
$$
化简：
$$
S_n = \frac{4}{n} \left( 4(n+1) + 3n \right)
= \frac{4}{n} (4n+4+3n)
= \frac{4}{n} (7n+4)
= 28 + \frac{16}{n}.
$$

步骤5：取极限
由定积分定义：
$$
\int_{0}^{4} (2x+3) \, \mathrm{d}x = \lim_{n \to \infty} S_n
= \lim_{n \to \infty} \left( 28 + \frac{16}{n} \right) = 28.
$$

因此
$$
\boxed{28}.
$$

---

（2） 计算 $\displaystyle{\int}_{0}^{1} x^{3} \mathrm{~d} x$

步骤1：划分区间
将 $[0,1]$ 分成 $n$ 等分，
$$
\Delta x = \frac{1}{n}.
$$

步骤2：取右端点
第 $i$ 个小区间右端点为
$$
x_i = \frac{i}{n}, \quad i = 1,2,\dots,n.
$$

步骤3：构造黎曼和
函数 $f(x)=x^3$ 在右端点的值为
$$
f(x_i) = \left( \frac{i}{n} \right)^3 = \frac{i^3}{n^3}.
$$
黎曼和为
$$
S_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{i^3}{n^3} \cdot \frac{1}{n}
= \frac{1}{n^4} \sum_{i=1}^{n} i^3.
$$

步骤4：利用已知求和公式
已知
$$
\sum_{i=1}^{n} i^3 = \frac{1}{4} n^2 (n+1)^2,
$$
代入得
$$
S_n = \frac{1}{n^4} \cdot \frac{1}{4} n^2 (n+1)^2
= \frac{(n+1)^2}{4 n^2}
= \frac{1}{4} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^2.
$$

步骤5：取极限
$$
\int_{0}^{1} x^3 \, \mathrm{d}x = \lim_{n \to \infty} S_n
= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{4} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^2
= \frac{1}{4}.
$$

因此
$$
\boxed{\frac{1}{4}}.
$$

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难度评级：★★☆☆☆
（主要考察定积分定义与基本求和公式，计算过程直接，但需理解极限思想）