人邮高数 第3章 第3-5-4题
📝 题目
4．设 $f(x)=\displaystyle{\int}_{-x}^{\sin x} \arctan \left(1+t^{2}\right) \mathrm{d} t$ ，求 $f^{\prime}(0)$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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我们已知
$$
f(x)=\displaystyle{\int}_{-x}^{\sin x} \arctan \left(1+t^{2}\right) \mathrm{d} t.
$$
要求 $ f'(0) $，可以使用含参变量积分的求导公式（Leibniz 法则）：
若
$$
F(x)=\displaystyle{\int}_{a(x)}^{b(x)} g(t)\,\mathrm{d}t,
$$
则
$$
F'(x)=g(b(x))\cdot b'(x)-g(a(x))\cdot a'(x).
$$
这里
$$
a(x)=-x,\quad b(x)=\sin x,\quad g(t)=\arctan(1+t^2).
$$
于是
$$
f'(x)=g(\sin x)\cdot (\sin x)' - g(-x)\cdot (-x)'.
$$
计算导数：
$$
(\sin x)'=\cos x,\quad (-x)'=-1.
$$
所以
$$
f'(x)=\arctan(1+\sin^2 x)\cdot \cos x - \arctan(1+(-x)^2)\cdot (-1).
$$
化简第二项：
$$
-\arctan(1+x^2)\cdot (-1) = +\arctan(1+x^2).
$$
因此
$$
f'(x)=\arctan(1+\sin^2 x)\cos x + \arctan(1+x^2).
$$
代入 $x=0$：
$$
\sin 0 = 0,\quad \cos 0 = 1,
$$
$$
f'(0)=\arctan(1+0)\cdot 1 + \arctan(1+0) = \arctan 1 + \arctan 1.
$$
而 $\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$，所以
$$
f'(0)=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}.
$$
最终结果：
$$
\boxed{\dfrac{\pi}{2}}
$$
难度：★★☆☆☆