人邮高数 第3章 第3-6-1题

[AI解答]

[AI解答]

以下为各小题的详细解答，均采用定积分换元法或直接积分法，并给出完整步骤。

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（1）
$$
\int_{0}^{1} \left(2x^{2} - \sqrt[3]{x} + 1\right) \mathrm{d}x
$$
直接积分：
$$
= \left[ \frac{2}{3}x^{3} - \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} + x \right]_{0}^{1}
= \frac{2}{3} - \frac{3}{4} + 1 = \frac{8}{12} - \frac{9}{12} + \frac{12}{12} = \frac{11}{12}
$$

难度：★☆☆☆☆

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（2）
$$
\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{d}x
$$
原函数为 $\arcsin x$：
$$
= \left[ \arcsin x \right]_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}
= \arcsin\frac{1}{2} - \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)
= \frac{\pi}{6} - \left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{3}
$$

难度：★☆☆☆☆

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（3）
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin\varphi \cos^{3}\varphi \, \mathrm{d}\varphi
$$
令 $u = \cos\varphi$，$\mathrm{d}u = -\sin\varphi\,\mathrm{d}\varphi$，当 $\varphi=0$ 时 $u=1$，$\varphi=\frac{\pi}{2}$ 时 $u=0$：
$$
= \int_{1}^{0} u^{3} (-\mathrm{d}u) = \int_{0}^{1} u^{3} \mathrm{d}u = \left[ \frac{u^{4}}{4} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{4}
$$

难度：★☆☆☆☆

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（4）
$$
\int_{0}^{\frac{T}{2}} \sin\left( \frac{2\pi}{T}t - \varphi_{0} \right) \mathrm{d}t
$$
令 $u = \frac{2\pi}{T}t - \varphi_{0}$，$\mathrm{d}u = \frac{2\pi}{T}\mathrm{d}t$，当 $t=0$ 时 $u=-\varphi_{0}$，$t=\frac{T}{2}$ 时 $u=\pi-\varphi_{0}$：
$$
= \int_{-\varphi_{0}}^{\pi-\varphi_{0}} \sin u \cdot \frac{T}{2\pi} \mathrm{d}u
= \frac{T}{2\pi} \left[ -\cos u \right]_{-\varphi_{0}}^{\pi-\varphi_{0}}
= \frac{T}{2\pi} \left( -\cos(\pi-\varphi_{0}) + \cos(-\varphi_{0}) \right)
$$
由于 $\cos(\pi-\varphi_{0}) = -\cos\varphi_{0}$，$\cos(-\varphi_{0}) = \cos\varphi_{0}$：
$$
= \frac{T}{2\pi} \left( \cos\varphi_{0} + \cos\varphi_{0} \right) = \frac{T}{\pi} \cos\varphi_{0}
$$

难度：★★☆☆☆

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（5）
$$
\int_{-2}^{-1} \frac{1}{x^{2}+4x+5} \mathrm{d}x
$$
配方：$x^{2}+4x+5 = (x+2)^{2}+1$，令 $u = x+2$，$\mathrm{d}u = \mathrm{d}x$，当 $x=-2$ 时 $u=0$，$x=-1$ 时 $u=1$：
$$
= \int_{0}^{1} \frac{1}{u^{2}+1} \mathrm{d}u = \left[ \arctan u \right]_{0}^{1} = \frac{\pi}{4}
$$

难度：★☆☆☆☆

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（6）
$$
\int_{0}^{1} \frac{1}{9x^{2}+6x+1} \mathrm{d}x
$$
分母为 $(3x+1)^{2}$，令 $u = 3x+1$，$\mathrm{d}u = 3\mathrm{d}x$，当 $x=0$ 时 $u=1$，$x=1$ 时 $u=4$：
$$
= \int_{1}^{4} \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{3} \mathrm{d}u
= \frac{1}{3} \left[ -\frac{1}{u} \right]_{1}^{4}
= \frac{1}{3} \left( -\frac{1}{4} + 1 \right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{4}
$$

难度：★☆☆☆☆

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（7）
$$
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\cos\theta} \mathrm{d}\theta
$$
利用半角公式：$1+\cos\theta = 2\cos^{2}\frac{\theta}{2}$，则：
$$
= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2\cos^{2}\frac{\theta}{2}} \mathrm{d}\theta
= \frac{1}{2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sec^{2}\frac{\theta}{2} \mathrm{d}\theta
$$
令 $u = \frac{\theta}{2}$，$\mathrm{d}u = \frac{1}{2}\mathrm{d}\theta$，当 $\theta=-\frac{\pi}{2}$ 时 $u=-\frac{\pi}{4}$，$\theta=\frac{\pi}{2}$ 时 $u=\frac{\pi}{4}$：
$$
= \frac{1}{2} \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \sec^{2}u \cdot 2\mathrm{d}u
= \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \sec^{2}u \,\mathrm{d}u
= \left[ \tan u \right]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} = 1 - (-1) = 2
$$

难度：★★☆☆☆

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（8）
$$
\int_{0}^{\pi} \sqrt{1+\cos 2x} \,\mathrm{d}x
$$
利用恒等式 $1+\cos 2x = 2\cos^{2}x$，则：
$$
\sqrt{1+\cos 2x} = \sqrt{2} |\cos x|
$$
在 $[0,\pi]$ 上，$\cos x \ge 0$ 当 $x\in[0,\frac{\pi}{2}]$，$\cos x \le 0$ 当 $x\in[\frac{\pi}{2},\pi]$，因此：
$$
= \sqrt{2} \left( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \,\mathrm{d}x + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} (-\cos x) \,\mathrm{d}x \right)
= \sqrt{2} \left( [\sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - [\sin x]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \right)
= \sqrt{2} \left( 1 - (0 - 1) \right) = 2\sqrt{2}
$$

难度：★★☆☆☆

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（9）
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1-\cos x)\sin^{2}x \,\mathrm{d}x
$$
展开：
$$
= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2}x \,\mathrm{d}x - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \sin^{2}x \,\mathrm{d}x
$$
第一项：$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2}x \,\mathrm{d}x = \frac{\pi}{4}$
第二项：令 $u = \sin x$，$\mathrm{d}u = \cos x \,\mathrm{d}x$，当 $x=0$ 时 $u=0$，$x=\frac{\pi}{2}$ 时 $u=1$：
$$
= \int_{0}^{1} u^{2} \mathrm{d}u = \frac{1}{3}
$$
因此：
$$
= \frac{\pi}{4} - \frac{1}{3}
$$

难度：★★☆☆☆

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（10）
$$
\int_{\frac{1}{\pi}}^{\frac{2}{\pi}} \frac{1}{x^{2}} \sin\frac{1