人邮高数 第3章 第3-6-3题

[AI解答]

[AI解答]

以下是用定积分分部积分法求解各题的过程。

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（1）
$$
\int_{0}^{e-1} \ln(x+1) \, dx
$$
令 $ u = \ln(x+1) $，$ dv = dx $，则
$$
du = \frac{1}{x+1} dx,\quad v = x
$$
分部积分：
$$
\int u\,dv = uv - \int v\,du
$$
$$
= \left[ x\ln(x+1) \right]_{0}^{e-1} - \int_{0}^{e-1} \frac{x}{x+1} dx
$$
计算第一部分：
$$
(e-1)\ln e - 0 = e-1
$$
第二部分：
$$
\frac{x}{x+1} = 1 - \frac{1}{x+1}
$$
$$
\int_{0}^{e-1} \left(1 - \frac{1}{x+1}\right) dx = \left[ x - \ln(x+1) \right]_{0}^{e-1} = (e-1 - \ln e) - (0 - \ln 1) = e-2
$$
所以结果为：
$$
(e-1) - (e-2) = 1
$$
答案： $1$

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（2）
$$
\int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \arccos x \, dx
$$
令 $ u = \arccos x $，$ dv = dx $，则
$$
du = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx,\quad v = x
$$
分部积分：
$$
= \left[ x\arccos x \right]_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} + \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx
$$
第一部分：
$$
\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\pi}{6} - 0 = \frac{\sqrt{3}\pi}{12}
$$
第二部分：令 $ t = 1-x^2 $，$ dt = -2x dx $，则
$$
\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = -\frac{1}{2} \int t^{-1/2} dt = -\sqrt{1-x^2}
$$
代入上下限：
$$
\left[ -\sqrt{1-x^2} \right]_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac12 + 1 = \frac12
$$
结果为：
$$
\frac{\sqrt{3}\pi}{12} + \frac12
$$
答案： $\displaystyle \frac{\sqrt{3}\pi}{12} + \frac12$

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（3）
$$
\int_{0}^{1} x e^{-x} dx
$$
令 $ u = x $，$ dv = e^{-x} dx $，则
$$
du = dx,\quad v = -e^{-x}
$$
分部积分：
$$
= \left[ -x e^{-x} \right]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{-x} dx = -e^{-1} + \left[ -e^{-x} \right]_{0}^{1} = -\frac1e - \left( e^{-1} - 1 \right) = 1 - \frac{2}{e}
$$
答案： $\displaystyle 1 - \frac{2}{e}$

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（4）
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \arctan(2x) dx
$$
令 $ u = \arctan(2x) $，$ dv = dx $，则
$$
du = \frac{2}{1+4x^2} dx,\quad v = x
$$
分部积分：
$$
= \left[ x\arctan(2x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2x}{1+4x^2} dx
$$
第一部分：
$$
\frac{\pi}{2} \cdot \arctan(\pi) - 0 = \frac{\pi}{2} \arctan \pi
$$
第二部分：令 $ t = 1+4x^2 $，$ dt = 8x dx $，则
$$
\int \frac{2x}{1+4x^2} dx = \frac14 \ln(1+4x^2)
$$
代入上下限：
$$
\frac14 \left[ \ln(1+4x^2) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac14 \ln(1+\pi^2)
$$
结果为：
$$
\frac{\pi}{2} \arctan \pi - \frac14 \ln(1+\pi^2)
$$
答案： $\displaystyle \frac{\pi}{2} \arctan \pi - \frac14 \ln(1+\pi^2)$

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（5）
$$
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{x}{\sin^2 x} dx
$$
令 $ u = x $，$ dv = \csc^2 x dx $，则
$$
du = dx,\quad v = -\cot x
$$
分部积分：
$$
= \left[ -x \cot x \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \cot x dx
$$
第一部分：
$$
-\frac{\pi}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{\pi}{4} \cdot 1 = -\frac{\pi}{3\sqrt{3}} + \frac{\pi}{4}
$$
第二部分：
$$
\int \cot x dx = \ln|\sin x|
$$
代入上下限：
$$
\ln(\sin\frac{\pi}{3}) - \ln(\sin\frac{\pi}{4}) = \ln\frac{\sqrt{3}}{2} - \ln\frac{\sqrt{2}}{2} = \ln\sqrt{\frac{3}{2}} = \frac12 \ln\frac{3}{2}
$$
结果为：
$$
\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3\sqrt{3}} + \frac12 \ln\frac{3}{2}
$$
答案： $\displaystyle \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3\sqrt{3}} + \frac12 \ln\frac{3}{2}$

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（6）
$$
\int_{0}^{2\pi} e^{2x} \cos x dx
$$
令 $ I = \int e^{2x} \cos x dx $，分部积分两次：
第一次：$ u = e^{2x} $，$ dv = \cos x dx $，得
$$
I = e^{2x} \sin x - \int 2 e^{2x} \sin x dx
$$
第二次：对 $ \int e^{2x} \sin x dx $，令 $ u = e^{2x} $，$ dv = \sin x dx $，得
$$
\int e^{2x} \sin x dx = -e^{2x} \cos x + \int 2 e^{2x} \cos x dx = -e^{2x} \cos x + 2I
$$
代入：
$$
I = e^{2x} \sin x - 2(-e^{2x} \cos x + 2I) = e^{2x} \sin x + 2 e^{2x} \cos x - 4I
$$
所以
$$
5I = e^{2x}(\sin x + 2\cos x) \quad\Rightarrow\quad I = \frac{e^{2x}}{5}(\sin x + 2\cos x)
$$
代入上下限：
$$
\frac{e^{4\pi}}{5}(\sin 2\pi + 2\cos 2\pi) - \frac{1}{5}(\sin 0 + 2\cos 0) = \frac{e^{4\pi}}{5}(0+2) - \frac{1}{5}(0+2) = \frac{2(e^{4\pi} - 1)}{5}
$$
答案： $\displaystyle \frac{2(e^{4\pi} - 1)}{5}$

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（7）
$$
\int_{0}^{1} (\arcsin x)^2 dx
$$
令 $ u = (\arcsin x)^2 $，$ dv = dx $，则
$$
du = \frac{2\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}} dx,\quad v = x
$$
分部积分：
$$
= \left[ x(\arcsin x)^2 \right]_{0}^{1} - 2\int_{0