人邮高数 第3章 第3-6-6题
📝 题目
6．已知 $\displaystyle{\int}_{x}^{2 \ln 2} \frac{\mathrm{~d} t}{\sqrt{\mathrm{e}^{t}-1}}=\frac{\pi}{6}$ ，求 $x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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已知
$$
\int_{x}^{2\ln 2} \frac{dt}{\sqrt{e^{t}-1}} = \frac{\pi}{6}
$$
要求出 $x$ 的值。
第一步：换元化简积分
令
$$
u = \sqrt{e^{t} - 1} \quad\Rightarrow\quad u^{2} = e^{t} - 1
$$
则
$$
e^{t} = u^{2} + 1, \quad t = \ln(u^{2} + 1)
$$
两边微分得
$$
dt = \frac{2u}{u^{2}+1}\, du
$$
同时，被积函数分母 $\sqrt{e^{t} - 1} = u$，于是
$$
\frac{dt}{\sqrt{e^{t} - 1}} = \frac{2u}{u^{2}+1} \cdot \frac{1}{u}\, du = \frac{2}{u^{2}+1}\, du
$$
第二步：换积分限
当 $t = x$ 时，$u = \sqrt{e^{x} - 1}$；
当 $t = 2\ln 2$ 时，
$$
e^{2\ln 2} = (e^{\ln 2})^{2} = 2^{2} = 4
$$
所以 $u = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}$。
原积分变为
$$
\int_{\sqrt{e^{x} - 1}}^{\sqrt{3}} \frac{2}{u^{2}+1}\, du = \frac{\pi}{6}
$$
第三步：计算定积分
$$
\int \frac{2}{u^{2}+1}\, du = 2\arctan u + C
$$
因此
$$
\left[ 2\arctan u \right]_{\sqrt{e^{x} - 1}}^{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6}
$$
即
$$
2\arctan(\sqrt{3}) - 2\arctan\left(\sqrt{e^{x} - 1}\right) = \frac{\pi}{6}
$$
第四步：代入已知值并解方程
因为 $\arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$，所以
$$
2\cdot\frac{\pi}{3} - 2\arctan\left(\sqrt{e^{x} - 1}\right) = \frac{\pi}{6}
$$
$$
\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = 2\arctan\left(\sqrt{e^{x} - 1}\right)
$$
$$
\frac{4\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}
$$
于是
$$
2\arctan\left(\sqrt{e^{x} - 1}\right) = \frac{\pi}{2}
$$
$$
\arctan\left(\sqrt{e^{x} - 1}\right) = \frac{\pi}{4}
$$
**第五步：求 $x$**
由 $\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$，得
$$
\sqrt{e^{x} - 1} = 1
$$
$$
e^{x} - 1 = 1 \quad\Rightarrow\quad e^{x} = 2
$$
$$
x = \ln 2
$$
最终答案
$$
\boxed{x = \ln 2}
$$
难度：★★☆☆☆