人邮高数 第3章 第3-7-1题

[AI解答]

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以下为各小题的详细求解过程，均采用积分法求平面图形面积。

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（1）由 $ y^{2}=x $ 和 $ y=x^{2} $ 所围成的图形

两曲线交点：
$$
y^2 = x,\quad y = x^2 \Rightarrow x^4 = x \Rightarrow x(x^3-1)=0 \Rightarrow x=0,1
$$
对应 $y=0,1$。

在 $x\in[0,1]$ 上，曲线 $y=\sqrt{x}$ 在上，$y=x^2$ 在下，面积：
$$
A = \displaystyle{\int_{0}^{1} \left( \sqrt{x} - x^{2} \right) \mathrm{d}x}
= \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^{3}}{3} \right]_{0}^{1}
= \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}
$$

难度：★★☆☆☆

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（2）由抛物线 $y+1=x^{2}$ 与直线 $y=1+x$ 所围成的图形

改写为 $y = x^2 -1$ 与 $y = x+1$。

求交点：
$$
x^2 - 1 = x + 1 \Rightarrow x^2 - x - 2 = 0 \Rightarrow (x-2)(x+1)=0 \Rightarrow x=-1,2
$$

在 $[-1,2]$ 上直线在上，面积：
$$
A = \displaystyle{\int_{-1}^{2} \left[(x+1) - (x^2-1)\right] \mathrm{d}x}
= \displaystyle{\int_{-1}^{2} ( -x^2 + x + 2 ) \mathrm{d}x}
= \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-1}^{2}
$$
计算：
在 $x=2$：$-\frac{8}{3} + 2 + 4 = \frac{10}{3}$
在 $x=-1$：$\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 = -\frac{7}{6}$
相减：
$$
A = \frac{10}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}
$$

难度：★★☆☆☆

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（3）由抛物线 $y=x^{2}$ 与直线 $x+y=2$ 所围成的图形

直线：$y=2-x$。

交点：
$$
x^2 = 2 - x \Rightarrow x^2 + x - 2 = 0 \Rightarrow (x+2)(x-1)=0 \Rightarrow x=-2,1
$$

在 $[-2,1]$ 上直线在上，面积：
$$
A = \displaystyle{\int_{-2}^{1} \left[(2-x) - x^2\right] \mathrm{d}x}
= \left[ 2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{1}
$$
$x=1$：$2 - \frac12 - \frac13 = \frac{7}{6}$
$x=-2$：$-4 - 2 + \frac{8}{3} = -\frac{10}{3}$
相减：
$$
A = \frac{7}{6} - \left(-\frac{10}{3}\right) = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}
$$

难度：★★☆☆☆

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（4）由抛物线 $y=2x-x^{2}$ 与直线 $x+y=0$ 所围成的图形

直线：$y=-x$。

交点：
$$
2x - x^2 = -x \Rightarrow -x^2 + 3x = 0 \Rightarrow x(3-x)=0 \Rightarrow x=0,3
$$

在 $[0,3]$ 上抛物线在上，面积：
$$
A = \displaystyle{\int_{0}^{3} \left[(2x-x^2) - (-x)\right] \mathrm{d}x}
= \displaystyle{\int_{0}^{3} (3x - x^2) \mathrm{d}x}
= \left[ \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{3}
= \frac{27}{2} - 9 = \frac{9}{2}
$$

难度：★★☆☆☆

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（5）由 $y^{2}=2x$ 和 $y=x-4$ 所围成的图形

将 $x = \frac{y^2}{2}$ 与 $x = y+4$ 联立：
$$
\frac{y^2}{2} = y+4 \Rightarrow y^2 - 2y - 8 = 0 \Rightarrow (y-4)(y+2)=0 \Rightarrow y=-2,4
$$

在 $y\in[-2,4]$ 上，直线在右，抛物线在左，面积：
$$
A = \displaystyle{\int_{-2}^{4} \left[(y+4) - \frac{y^2}{2}\right] \mathrm{d}y}
= \left[ \frac{y^2}{2} + 4y - \frac{y^3}{6} \right]_{-2}^{4}
$$
$y=4$：$8 + 16 - \frac{64}{6} = 24 - \frac{32}{3} = \frac{40}{3}$
$y=-2$：$2 - 8 + \frac{8}{6} = -6 + \frac{4}{3} = -\frac{14}{3}$
相减：
$$
A = \frac{40}{3} - \left(-\frac{14}{3}\right) = \frac{54}{3} = 18
$$

难度：★★☆☆☆

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（6）由 $y=\mathrm{e}^{x}, y=\mathrm{e}^{-x}$ 和 $x=1$ 所围成的图形

在 $x\in[0,1]$ 上，$\mathrm{e}^{x} \ge \mathrm{e}^{-x}$，面积：
$$
A = \displaystyle{\int_{0}^{1} \left( \mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{-x} \right) \mathrm{d}x}
= \left[ \mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x} \right]_{0}^{1}
= (\mathrm{e} + \mathrm{e}^{-1}) - (1+1) = \mathrm{e} + \frac{1}{\mathrm{e}} - 2
$$

难度：★☆☆☆☆

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（7）由曲线 $y=x^{3}-6x$ 和 $y=x^{2}$ 所围成的图形

交点：
$$
x^3 - 6x = x^2 \Rightarrow x^3 - x^2 - 6x = 0 \Rightarrow x(x^2 - x - 6)=0 \Rightarrow x(x-3)(x+2)=0
$$
得 $x=-2,0,3$。

需分两段积分：

在 $[-2,0]$ 上，$x^3-6x \ge x^2$；在 $[0,3]$ 上，$x^2 \ge x^3-6x$。

面积：
$$
A = \displaystyle{\int_{-2}^{0} \left[(x^3-6x) - x^2\right] \mathrm{d}x}
+ \displaystyle{\int_{0}^{3} \left[x^2 - (x^3-6x)\right] \mathrm{d}x}
$$

第一段：
$$
\int_{-2}^{0} (x^3 - x^2 - 6x) \mathrm{d}x
= \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} - 3x^2 \right]_{-2}^{0}
$$
在 $0$ 为 $0$，在 $-2$：
$$
\frac{16}{4} - \frac{-8}{3} - 3\cdot 4 = 4 + \frac{8}{3} - 12 = -\frac{16}{3}
$$
所以第一段面积为 $\frac{16}{3}$。

第二段：
$$
\int_{0}^{3} (-x^3 + x^2 + 6x) \mathrm{d}x
= \left[ -\frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} + 3x^2 \right]_{0}^{3}
= -\frac{81}{4} + 9 + 27 = -\frac{81