人邮高数 第3章 第3-7-*12题

[AI解答]

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步骤1：建立坐标系与微元分析
将贮水池的深度方向设为 $x$ 轴，原点取在水池底部，向上为正方向。水池深 $2\,\text{m}$，故水面位于 $x=2$ 处。
梯形截面：下底长 $4\,\text{m}$（在底部 $x=0$ 处），上底长 $6\,\text{m}$（在顶部 $x=2$ 处）。宽度随深度线性变化。
设深度 $x$ 处（距底部 $x$ 米）的截面宽度为 $w(x)$。由线性关系：
$$
w(x) = 4 + \frac{6-4}{2} x = 4 + x
$$
水池长度（垂直于截面方向）为 $8\,\text{m}$，故在深度 $x$ 处取一厚度为 $dx$ 的薄层水，其体积微元为：
$$
dV = w(x) \cdot 8 \cdot dx = 8(4+x)\,dx
$$

步骤2：水的质量与重力
水的密度 $\rho = 1000\,\text{kg/m}^3$，重力加速度 $g = 9.8\,\text{m/s}^2$。
该薄层水的质量为：
$$
dm = \rho \, dV = 1000 \cdot 8(4+x)\,dx = 8000(4+x)\,dx
$$
重力为：
$$
dF = g\,dm = 9.8 \cdot 8000(4+x)\,dx = 78400(4+x)\,dx
$$

步骤3：提升高度与微功
水池顶部位于 $x=2$ 处，水塔位于水池上方 $20\,\text{m}$，即水塔相对于水池底部的高度为 $20+2=22\,\text{m}$。
但薄层水本身在深度 $x$ 处，需先提升到水池顶部（高度 $2-x$），再提升 $20\,\text{m}$ 到水塔，总提升高度为：
$$
h(x) = (2 - x) + 20 = 22 - x
$$
因此将该薄层水抽到水塔所需微功为：
$$
dW = dF \cdot h(x) = 78400(4+x)(22-x)\,dx
$$

步骤4：积分求总功
积分范围从水池底部 $x=0$ 到顶部 $x=2$：
$$
W = \int_{0}^{2} 78400(4+x)(22-x)\,dx
$$
先展开被积函数：
$$
(4+x)(22-x) = 88 - 4x + 22x - x^2 = 88 + 18x - x^2
$$
所以：
$$
W = 78400 \int_{0}^{2} (88 + 18x - x^2)\,dx
$$
逐项积分：
$$
\int_{0}^{2} 88\,dx = 88x \Big|_{0}^{2} = 176
$$
$$
\int_{0}^{2} 18x\,dx = 9x^2 \Big|_{0}^{2} = 36
$$
$$
\int_{0}^{2} (-x^2)\,dx = -\frac{x^3}{3}\Big|_{0}^{2} = -\frac{8}{3}
$$
总和为：
$$
176 + 36 - \frac{8}{3} = 212 - \frac{8}{3} = \frac{636 - 8}{3} = \frac{628}{3}
$$
因此：
$$
W = 78400 \times \frac{628}{3} = \frac{78400 \times 628}{3}
$$
计算数值：
$$
78400 \times 628 = 78400 \times (600 + 28) = 47040000 + 2195200 = 49235200
$$
$$
W = \frac{49235200}{3} \approx 16411733.33\,\text{J}
$$
通常保留为：
$$
W = \frac{49235200}{3}\,\text{J} \quad \text{或约} \quad 1.641 \times 10^7\,\text{J}
$$

步骤5：最终答案
$$
\boxed{W = \dfrac{49235200}{3}\,\text{J} \approx 1.64 \times 10^7\,\text{J}}
$$

难度评级：★★★☆☆
（涉及积分应用、线性宽度变化、提升高度分析，计算量中等，需仔细处理坐标系与积分上下限）