人邮高数 第4章 第4-1-2题
📝 题目
2．指出下列方程哪些是微分方程，并指出方程的阶数。
（1）$x y y^{\prime \prime}+x\left(y^{\prime}\right)^{3}-y^{4} y^{\prime}=0$ ；
（2）$\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} \cos x+y \sin x=0$ ；
（3）$\displaystyle y^{2}-\frac{y}{x}=\frac{x}{y}$ ；
（4） $3 y^{2} \mathrm{~d} y+3 x^{2} \mathrm{~d} x=1$ ；
（5）$(x-2 y) y^{\prime \prime \prime}=2 x^{4}-y$ ；
（6）$\displaystyle y^{\prime}=3 y^{\frac{2}{3}}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们来逐一判断每个方程是否为微分方程，并指出其阶数。
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（1）
方程：
$$x y y^{\prime \prime}+x\left(y^{\prime}\right)^{3}-y^{4} y^{\prime}=0$$
含有导数 $y^{\prime}$ 和 $y^{\prime\prime}$，因此是微分方程。
最高阶导数为 $y^{\prime\prime}$，所以阶数为 2。
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（2）
方程：
$$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} \cos x+y \sin x=0$$
含有导数 $\displaystyle{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}}$，是微分方程。
最高阶导数为1阶，所以阶数为 1。
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（3）
方程：
$$y^{2}-\frac{y}{x}=\frac{x}{y}$$
不含任何导数或微分形式，因此 不是微分方程。
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（4）
方程：
$$3 y^{2} \mathrm{~d} y+3 x^{2} \mathrm{~d} x=1$$
含有微分 $\mathrm{d}y$ 和 $\mathrm{d}x$，是微分方程（微分形式）。
最高阶微分为1阶，所以阶数为 1。
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（5）
方程：
$$(x-2 y) y^{\prime \prime \prime}=2 x^{4}-y$$
含有三阶导数 $y^{\prime\prime\prime}$，是微分方程。
最高阶导数为3，所以阶数为 3。
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（6）
方程：
$$y^{\prime}=3 y^{\frac{2}{3}}$$
含有一阶导数 $y^{\prime}$，是微分方程。
阶数为 1。
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最终答案汇总：
- (1) 是，2阶
- (2) 是，1阶
- (3) 不是
- (4) 是，1阶
- (5) 是，3阶
- (6) 是，1阶
难度：★☆☆☆☆（基础概念判断题，只需识别导数和阶数）