人邮高数 第4章 第4-3-9题
📝 题目
9．求下列微分方程的通解：
（1）$y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=2 \mathrm{e}^{x}$ ；
（2） $2 y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}=5 x^{2}-2 x-1$ ；
（3）$y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=5 \mathrm{e}^{-x}$ ；
（4）$y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=\mathrm{e}^{-2 x}$ ；
（5）$y^{\prime \prime}-y^{\prime}=7 \mathrm{e}^{-x}$ ；
（6）$y^{\prime \prime}-y=\mathrm{e}^{2 x}$ ；
（7）$y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=\mathrm{e}^{3 x}$ ；
（8） $2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}-y=2 \mathrm{e}^{x}$ ；
（9）$y^{\prime \prime}-y^{\prime}=4 \sin x$ ；
（10）$y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=\cos 2 x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们依次求解各题，均为二阶常系数非齐次线性微分方程，通解形式为：
$$
y = y_h + y_p
$$
其中 $y_h$ 为对应齐次方程通解，$y_p$ 为非齐次特解。
---
（1）$y'' + y' - 2y = 2e^x$
齐次方程：特征方程
$$
r^2 + r - 2 = 0 \quad\Rightarrow\quad (r+2)(r-1)=0
$$
根：$r_1 = -2,\ r_2 = 1$
齐次通解：
$$
y_h = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{x}
$$
非齐次项：$2e^x$，而 $e^x$ 已是齐次解，故设特解形式：
$$
y_p = A x e^{x}
$$
求导：
$$
y_p' = A e^{x}(x+1),\quad y_p'' = A e^{x}(x+2)
$$
代入原方程：
$$
A e^{x}(x+2) + A e^{x}(x+1) - 2A x e^{x} = 2e^{x}
$$
化简：
$$
A e^{x}[(x+2)+(x+1)-2x] = A e^{x}(3) = 2e^{x}
$$
得 $A = \frac{2}{3}$。
通解：
$$
\boxed{y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{x} + \frac{2}{3}x e^{x}}
$$
---
（2）$2y'' + 5y' = 5x^2 - 2x - 1$
齐次方程：特征方程
$$
2r^2 + 5r = 0 \quad\Rightarrow\quad r(2r+5)=0
$$
根：$r_1=0,\ r_2=-\frac{5}{2}$
齐次通解：
$$
y_h = C_1 + C_2 e^{-\frac{5}{2}x}
$$
非齐次项：多项式 $5x^2 - 2x - 1$，因 $r=0$ 是单根，故设：
$$
y_p = x(Ax^2 + Bx + C) = A x^3 + B x^2 + C x
$$
求导：
$$
y_p' = 3A x^2 + 2B x + C,\quad y_p'' = 6A x + 2B
$$
代入：
$$
2(6A x + 2B) + 5(3A x^2 + 2B x + C) = 5x^2 - 2x - 1
$$
即：
$$
(15A)x^2 + (12A + 10B)x + (4B + 5C) = 5x^2 - 2x - 1
$$
比较系数：
$$
15A = 5 \Rightarrow A = \frac{1}{3}
$$
$$
12A + 10B = -2 \Rightarrow 4 + 10B = -2 \Rightarrow B = -\frac{3}{5}
$$
$$
4B + 5C = -1 \Rightarrow -\frac{12}{5} + 5C = -1 \Rightarrow 5C = \frac{7}{5} \Rightarrow C = \frac{7}{25}
$$
特解：
$$
y_p = \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{5}x^2 + \frac{7}{25}x
$$
通解：
$$
\boxed{y = C_1 + C_2 e^{-\frac{5}{2}x} + \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{5}x^2 + \frac{7}{25}x}
$$
---
（3）$y'' + 2y' + y = 5e^{-x}$
齐次方程：特征方程
$$
r^2 + 2r + 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad (r+1)^2=0
$$
根：$r=-1$（二重根）
齐次通解：
$$
y_h = (C_1 + C_2 x)e^{-x}
$$
非齐次项：$5e^{-x}$，而 $e^{-x}$ 与 $x e^{-x}$ 均为齐次解，故设：
$$
y_p = A x^2 e^{-x}
$$
求导：
$$
y_p' = A e^{-x}(2x - x^2),\quad y_p'' = A e^{-x}(2 - 4x + x^2)
$$
代入：
$$
A e^{-x}[(2 - 4x + x^2) + 2(2x - x^2) + x^2] = A e^{-x}(2) = 5e^{-x}
$$
得 $A = \frac{5}{2}$。
通解：
$$
\boxed{y = (C_1 + C_2 x)e^{-x} + \frac{5}{2}x^2 e^{-x}}
$$
---
（4）$y'' - 4y' + 4y = e^{-2x}$
齐次方程：特征方程
$$
r^2 - 4r + 4 = 0 \quad\Rightarrow\quad (r-2)^2=0
$$
根：$r=2$（二重根）
齐次通解：
$$
y_h = (C_1 + C_2 x)e^{2x}
$$
非齐次项：$e^{-2x}$，指数 $-2$ 不是特征根，设：
$$
y_p = A e^{-2x}
$$
求导：
$$
y_p' = -2A e^{-2x},\quad y_p'' = 4A e^{-2x}
$$
代入：
$$
4A e^{-2x} - 4(-2A e^{-2x}) + 4A e^{-2x} = (4A + 8A + 4A)e^{-2x} = 16A e^{-2x} = e^{-2x}
$$
得 $A = \frac{1}{16}$。
通解：
$$
\boxed{y = (C_1 + C_2 x)e^{2x} + \frac{1}{16}e^{-2x}}
$$
---
（5）$y'' - y' = 7e^{-x}$
齐次方程：特征方程
$$
r^2 - r = 0 \quad\Rightarrow\quad r(r-1)=0
$$
根：$r=0,\ 1$
齐次通解：
$$
y_h = C_1 + C_2 e^{x}
$$
非齐次项：$7e^{-x}$，指数 $-1$ 不是特征根，设：
$$
y_p = A e^{-x}
$$
求导：
$$
y_p' = -A e^{-x},\quad y_p'' = A e^{-x}
$$
代入：
$$
A e^{-x} - (-A e^{-x}) = 2A e^{-x} = 7e^{-x}
$$
得 $A = \frac{7}{2}$。
通解：
$$
\boxed{y = C_1 + C_2 e^{x} + \frac{7}{2}e^{-x}}
$$
---
（6）$y'' - y = e^{2x}$
齐次方程：特征方程
$$
r^2 - 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad r = \pm 1
$$
齐次通解：
$$
y_h = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x}
$$
非齐次项：$e^{2x}$，指数 $2$ 不是特征根，设：
$$
y_p = A e^{2x}
$$
求导：
$$
y_p' = 2A e^{2x},\quad y_p'' = 4A e^{2x}
$$
代入：
$$
4A e^{2x} - A e^{2x} = 3A e^{2x} = e^{2x}
$$
得 $A = \frac{1}{3}$。
通解：
$$
\boxed{y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x} + \frac{1}{3}e^{2x}}
$$
---
（7）$y'' - 6y' + 9y = e^{3x}$
齐次方程：特征方程
$$
r^2 - 6r + 9 = 0 \quad\Rightarrow\quad (r-3