人邮高数 第1章 第1-4-1题

[AI解答]

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题目：已知
$$
x_n = \frac{(-1)^n}{(n+1)^2}
$$
证明数列 $\{x_n\}$ 的极限为 $0$。

证明：
我们要证明
$$
\lim_{n\to\infty} x_n = 0
$$
即对任意给定的 $\varepsilon > 0$，存在正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，有
$$
|x_n - 0| < \varepsilon .
$$

首先计算 $|x_n - 0|$：
$$
|x_n| = \left| \frac{(-1)^n}{(n+1)^2} \right| = \frac{1}{(n+1)^2}.
$$

因此，要使 $|x_n| < \varepsilon$，只需
$$
\frac{1}{(n+1)^2} < \varepsilon \quad \Leftrightarrow \quad (n+1)^2 > \frac{1}{\varepsilon} \quad \Leftrightarrow \quad n+1 > \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}.
$$

即
$$
n > \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}} - 1.
$$

取正整数
$$
N = \max\left\{ 1, \left\lfloor \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}} - 1 \right\rfloor + 1 \right\},
$$
则当 $n > N$ 时，必有 $\displaystyle n > \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}} - 1$，从而
$$
|x_n - 0| = \frac{1}{(n+1)^2} < \varepsilon .
$$

由极限定义可知
$$
\lim_{n\to\infty} x_n = 0 .
$$

证毕。