人邮高数 第5章 第5-1-11题
📝 题目
11．已知 $\boldsymbol{a}=(1,1,-4), \boldsymbol{b}=(1,-2,2)$ ，求：
（1） $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$ ；（2） $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角 $\theta$ ；（3） $\boldsymbol{a}$ 在 $\boldsymbol{b}$ 上的投影。
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
已知向量
$$
\boldsymbol{a}=(1,1,-4),\quad \boldsymbol{b}=(1,-2,2)
$$
（1）求数量积
$$
\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=1\times1+1\times(-2)+(-4)\times2=1-2-8=-9
$$
**（2）求夹角 $\theta$**
先计算模长：
$$
|\boldsymbol{a}|=\sqrt{1^2+1^2+(-4)^2}=\sqrt{1+1+16}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}
$$
$$
|\boldsymbol{b}|=\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3
$$
由数量积公式：
$$
\cos\theta=\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}=\frac{-9}{3\sqrt{2}\times3}=\frac{-9}{9\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}
$$
因此
$$
\theta=\arccos\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{3\pi}{4}
$$
**（3）求 $\boldsymbol{a}$ 在 $\boldsymbol{b}$ 上的投影**
投影公式为
$$
\text{Proj}_{\boldsymbol{b}}\boldsymbol{a}=\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}=\frac{-9}{3}=-3
$$
负号表示投影方向与 $\boldsymbol{b}$ 相反。
难度评级：★☆☆☆☆
（直接套用向量点积、模长、夹角与投影公式，计算简单，无复杂技巧。）