人邮高数 第5章 第5-1-17题
📝 题目
17．求与 $\boldsymbol{a}=3 \boldsymbol{i}-2 \boldsymbol{j}+4 \boldsymbol{k}, \boldsymbol{b}=\boldsymbol{i}+\boldsymbol{j}-2 \boldsymbol{k}$ 都垂直的单位向量．
💡 答案解析
[AI解答]
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设所求向量为 $\boldsymbol{c}$，它与 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 都垂直，因此 $\boldsymbol{c}$ 平行于它们的叉积 $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$。
首先计算叉积：
$$
\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}
= \begin{vmatrix}
\boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\
3 & -2 & 4 \\
1 & 1 & -2
\end{vmatrix}
$$
按第一行展开：
$$
\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}
= \boldsymbol{i} \begin{vmatrix} -2 & 4 \\ 1 & -2 \end{vmatrix}
- \boldsymbol{j} \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 1 & -2 \end{vmatrix}
+ \boldsymbol{k} \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}
$$
计算各二阶行列式：
$$
\begin{vmatrix} -2 & 4 \\ 1 & -2 \end{vmatrix}
= (-2)(-2) - (4)(1) = 4 - 4 = 0
$$
$$
\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 1 & -2 \end{vmatrix}
= (3)(-2) - (4)(1) = -6 - 4 = -10
$$
$$
\begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}
= (3)(1) - (-2)(1) = 3 + 2 = 5
$$
因此：
$$
\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}
= 0 \cdot \boldsymbol{i} - (-10) \cdot \boldsymbol{j} + 5 \cdot \boldsymbol{k}
= 10 \boldsymbol{j} + 5 \boldsymbol{k}
$$
即：
$$
\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = (0, 10, 5)
$$
接下来求其模长：
$$
|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}|
= \sqrt{0^2 + 10^2 + 5^2}
= \sqrt{100 + 25}
= \sqrt{125}
= 5\sqrt{5}
$$
单位向量为：
$$
\boldsymbol{c} = \pm \frac{\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}|}
= \pm \frac{(0, 10, 5)}{5\sqrt{5}}
= \pm \left(0, \frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}\right)
$$
也可以有理化分母：
$$
\boldsymbol{c} = \pm \left(0, \frac{2\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5}\right)
$$
因此，与 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 都垂直的单位向量为：
$$
\boxed{\pm \left(0,\ \frac{2\sqrt{5}}{5},\ \frac{\sqrt{5}}{5}\right)}
$$
难度：★☆☆☆☆