人邮高数 第5章 第5-1-19题
📝 题目
19．设向量 $\boldsymbol{a}=2 \boldsymbol{i}+\boldsymbol{j}, \boldsymbol{b}=-\boldsymbol{i}+2 \boldsymbol{k}$ ，求以 $\boldsymbol{a} 、 \boldsymbol{b}$ 为邻边的平行四边形的面积．
💡 答案解析
[AI解答]
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已知向量
$$
\boldsymbol{a}=2\boldsymbol{i}+\boldsymbol{j},\quad \boldsymbol{b}=-\boldsymbol{i}+2\boldsymbol{k}.
$$
以 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 为邻边的平行四边形面积等于它们叉积的模长，即
$$
S = |\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}|.
$$
首先计算叉积：
$$
\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} =
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\
2 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 2
\end{vmatrix}.
$$
按第一行展开：
$$
\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} =
\boldsymbol{i} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix}
- \boldsymbol{j} \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 2 \end{vmatrix}
+ \boldsymbol{k} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix}.
$$
计算各二阶行列式：
$$
\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 1\cdot 2 - 0\cdot 0 = 2,
$$
$$
\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 2\cdot 2 - 0\cdot(-1) = 4,
$$
$$
\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 2\cdot 0 - 1\cdot(-1) = 1.
$$
因此
$$
\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = 2\boldsymbol{i} - 4\boldsymbol{j} + 1\boldsymbol{k}.
$$
模长为
$$
|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}| = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 16 + 1} = \sqrt{21}.
$$
所以平行四边形面积为
$$
\boxed{\sqrt{21}}.
$$
难度：★☆☆☆☆