人邮高数 第5章 第5-1-20题
📝 题目
20．求以点 $A(1,2,3) 、 B(0,0,1) 、 C(3,1,0)$ 为顶点的三角形的面积．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
三角形的面积可以通过向量叉积的模长的一半来计算。
首先，构造向量：
$$
\overrightarrow{AB} = B - A = (0-1,\ 0-2,\ 1-3) = (-1,\ -2,\ -2)
$$
$$
\overrightarrow{AC} = C - A = (3-1,\ 1-2,\ 0-3) = (2,\ -1,\ -3)
$$
然后计算叉积 $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$：
$$
\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
-1 & -2 & -2 \\
2 & -1 & -3
\end{vmatrix}
$$
按第一行展开：
$$
= \mathbf{i} \cdot \left((-2)(-3) - (-2)(-1)\right)
- \mathbf{j} \cdot \left((-1)(-3) - (-2)(2)\right)
+ \mathbf{k} \cdot \left((-1)(-1) - (-2)(2)\right)
$$
计算各分量：
- $i$ 分量：$6 - 2 = 4$
- $j$ 分量：注意负号，先算括号内：$(-1)(-3)=3,\ (-2)(2)=-4$，所以 $3 - (-4) = 7$，再取负得 $-7$
- $k$ 分量：$1 - (-4) = 5$
因此：
$$
\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (4,\ -7,\ 5)
$$
其模长为：
$$
| \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} | = \sqrt{4^2 + (-7)^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 49 + 25} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}
$$
三角形面积为叉积模长的一半：
$$
S = \frac{1}{2} \times 3\sqrt{10} = \frac{3\sqrt{10}}{2}
$$
难度：★★☆☆☆