人邮高数 第5章 第5-1-29题
📝 题目
29．已知 $\boldsymbol{a}=(7,-4,-4), \boldsymbol{b}=(-2,-1,2)$ ，向量 $\boldsymbol{c}$ 在向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的角平分线上，且 $|\boldsymbol{c}|=3 \sqrt{42}$ ，求 $\boldsymbol{c}$ 的坐标．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
已知向量
$$
\boldsymbol{a}=(7,-4,-4),\quad \boldsymbol{b}=(-2,-1,2)
$$
要求向量 $\boldsymbol{c}$ 在 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的角平分线上，且模长 $|\boldsymbol{c}|=3\sqrt{42}$。
第一步：求两向量的单位向量
先计算模长：
$$
|\boldsymbol{a}|=\sqrt{7^2+(-4)^2+(-4)^2}=\sqrt{49+16+16}=\sqrt{81}=9
$$
$$
|\boldsymbol{b}|=\sqrt{(-2)^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{4+1+4}=\sqrt{9}=3
$$
单位向量：
$$
\boldsymbol{a}^0=\frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|}=\left(\frac{7}{9},-\frac{4}{9},-\frac{4}{9}\right)
$$
$$
\boldsymbol{b}^0=\frac{\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}=\left(-\frac{2}{3},-\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)
$$
第二步：角平分线方向向量
两向量夹角平分线的方向向量为两单位向量之和：
$$
\boldsymbol{d}=\boldsymbol{a}^0+\boldsymbol{b}^0
= \left(\frac{7}{9}-\frac{2}{3},\; -\frac{4}{9}-\frac{1}{3},\; -\frac{4}{9}+\frac{2}{3}\right)
$$
通分（分母9）：
$$
\frac{7}{9}-\frac{6}{9}=\frac{1}{9},\quad
-\frac{4}{9}-\frac{3}{9}=-\frac{7}{9},\quad
-\frac{4}{9}+\frac{6}{9}=\frac{2}{9}
$$
所以
$$
\boldsymbol{d}=\left(\frac{1}{9},-\frac{7}{9},\frac{2}{9}\right)=\frac{1}{9}(1,-7,2)
$$
**第三步：求模长并确定 $\boldsymbol{c}$**
$$
|\boldsymbol{d}|=\frac{1}{9}\sqrt{1^2+(-7)^2+2^2}=\frac{1}{9}\sqrt{1+49+4}=\frac{\sqrt{54}}{9}=\frac{3\sqrt{6}}{9}=\frac{\sqrt{6}}{3}
$$
设 $\boldsymbol{c}=k\boldsymbol{d}$，则
$$
|\boldsymbol{c}|=|k|\cdot|\boldsymbol{d}|=|k|\cdot\frac{\sqrt{6}}{3}=3\sqrt{42}
$$
解得
$$
|k|=3\sqrt{42}\cdot\frac{3}{\sqrt{6}}=9\sqrt{\frac{42}{6}}=9\sqrt{7}
$$
因此 $k=\pm 9\sqrt{7}$。
于是
$$
\boldsymbol{c}= \pm 9\sqrt{7}\cdot\frac{1}{9}(1,-7,2)=\pm\sqrt{7}(1,-7,2)
$$
即
$$
\boldsymbol{c}=(\sqrt{7},-7\sqrt{7},2\sqrt{7})\quad\text{或}\quad (-\sqrt{7},7\sqrt{7},-2\sqrt{7})
$$
最终答案：
$$
\boxed{(\sqrt{7},-7\sqrt{7},2\sqrt{7})}\quad\text{或}\quad\boxed{(-\sqrt{7},7\sqrt{7},-2\sqrt{7})}
$$
难度：★★☆☆☆