人邮高数 第5章 第5-1-6题
📝 题目
6．设点 $A$ 位于第 I 卦限，向径 $\overrightarrow{O A}$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴的夹角依次为 $\displaystyle \frac{\pi}{3}$ 和 $\displaystyle \frac{\pi}{4}$ ，且 $|\overrightarrow{O A}|=6$ ，求点 $A$ 的坐标．
💡 答案解析
[AI解答]
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设点 $A$ 的坐标为 $(x, y, z)$，由题意可知向径 $\overrightarrow{OA}$ 的长度为 $|\overrightarrow{OA}| = 6$，且与 $x$ 轴、$y$ 轴的夹角分别为 $\frac{\pi}{3}$ 和 $\frac{\pi}{4}$。
根据方向余弦的定义，有
$$
\cos\alpha = \frac{x}{|\overrightarrow{OA}|},\quad \cos\beta = \frac{y}{|\overrightarrow{OA}|},\quad \cos\gamma = \frac{z}{|\overrightarrow{OA}|}
$$
其中 $\alpha, \beta, \gamma$ 分别是 $\overrightarrow{OA}$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴正向的夹角。
已知 $\alpha = \frac{\pi}{3}$，$\beta = \frac{\pi}{4}$，因此
$$
x = 6\cos\frac{\pi}{3} = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3,
$$
$$
y = 6\cos\frac{\pi}{4} = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}.
$$
方向余弦满足恒等式
$$
\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1,
$$
代入已知值：
$$
\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \cos^2\gamma = 1,
$$
即
$$
\frac{1}{4} + \frac{2}{4} + \cos^2\gamma = 1 \quad\Rightarrow\quad \frac{3}{4} + \cos^2\gamma = 1,
$$
解得
$$
\cos^2\gamma = \frac{1}{4} \quad\Rightarrow\quad \cos\gamma = \pm\frac{1}{2}.
$$
由于点 $A$ 位于第 I 卦限，即 $x>0, y>0, z>0$，故取 $\cos\gamma = \frac{1}{2}$，从而
$$
z = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3.
$$
因此点 $A$ 的坐标为
$$
\boxed{(3,\;3\sqrt{2},\;3)}.
$$
难度：★☆☆☆☆