人邮高数 第5章 第5-1-9题
📝 题目
9．求平行于向量 $\boldsymbol{a}=6 \boldsymbol{i}+7 \boldsymbol{j}-6 \boldsymbol{k}$ 的单位向量．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
要求平行于给定向量 $\boldsymbol{a}=6\boldsymbol{i}+7\boldsymbol{j}-6\boldsymbol{k}$ 的单位向量，即方向与 $\boldsymbol{a}$ 相同或相反，且模长为1的向量。
首先计算向量 $\boldsymbol{a}$ 的模：
$$
|\boldsymbol{a}| = \sqrt{6^2 + 7^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 49 + 36} = \sqrt{121} = 11.
$$
单位向量 $\boldsymbol{e}$ 的公式为：
$$
\boldsymbol{e} = \pm \frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|}.
$$
代入得：
$$
\boldsymbol{e} = \pm \frac{1}{11}(6\boldsymbol{i} + 7\boldsymbol{j} - 6\boldsymbol{k}) = \pm \left( \frac{6}{11}\boldsymbol{i} + \frac{7}{11}\boldsymbol{j} - \frac{6}{11}\boldsymbol{k} \right).
$$
因此，平行于 $\boldsymbol{a}$ 的单位向量有两个：
$$
\frac{6}{11}\boldsymbol{i} + \frac{7}{11}\boldsymbol{j} - \frac{6}{11}\boldsymbol{k} \quad\text{和}\quad -\frac{6}{11}\boldsymbol{i} - \frac{7}{11}\boldsymbol{j} + \frac{6}{11}\boldsymbol{k}.
$$
难度：★☆☆☆☆