人邮高数 第5章 第5-2-12题
📝 题目
12．求经过两点 $M_{1}(3,-2,9)$ 和 $M_{2}(-6,0,-4)$ 且与平面 $2 x-y+4 z-8=0$ 垂直的平面的方程。
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求一个平面，它经过两点 $M_1(3,-2,9)$ 和 $M_2(-6,0,-4)$，并且与已知平面
$$
2x - y + 4z - 8 = 0
$$
垂直。
两个平面垂直的条件是它们的法向量互相垂直。
第一步：确定已知平面的法向量
已知平面的法向量为
$$
\vec{n}_1 = (2, -1, 4)
$$
**第二步：求出向量 $\overrightarrow{M_1M_2}$**
$$
\overrightarrow{M_1M_2} = (-6-3,\; 0-(-2),\; -4-9) = (-9,\; 2,\; -13)
$$
这个向量位于所求平面内。
第三步：构造所求平面的法向量
设所求平面的法向量为 $\vec{n}$。由于所求平面包含 $\overrightarrow{M_1M_2}$，且与已知平面垂直，所以 $\vec{n}$ 必须同时垂直于 $\overrightarrow{M_1M_2}$ 和 $\vec{n}_1$。
因此我们可以取
$$
\vec{n} = \overrightarrow{M_1M_2} \times \vec{n}_1
$$
计算叉积：
$$
\vec{n} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
-9 & 2 & -13 \\
2 & -1 & 4
\end{vmatrix}
$$
按第一行展开：
$$
\vec{n} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 2 & -13 \\ -1 & 4 \end{vmatrix}
- \mathbf{j} \begin{vmatrix} -9 & -13 \\ 2 & 4 \end{vmatrix}
+ \mathbf{k} \begin{vmatrix} -9 & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix}
$$
计算各行列式：
$$
\begin{vmatrix} 2 & -13 \\ -1 & 4 \end{vmatrix} = 2\cdot4 - (-13)(-1) = 8 - 13 = -5
$$
$$
\begin{vmatrix} -9 & -13 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = (-9)\cdot4 - (-13)\cdot2 = -36 + 26 = -10
$$
注意前面有负号：$-\mathbf{j}(-10) = +10\mathbf{j}$
$$
\begin{vmatrix} -9 & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = (-9)(-1) - 2\cdot2 = 9 - 4 = 5
$$
所以
$$
\vec{n} = (-5)\mathbf{i} + 10\mathbf{j} + 5\mathbf{k} = (-5, 10, 5)
$$
可以约去公因子5，取
$$
\vec{n} = (-1, 2, 1)
$$
第四步：写出平面方程
取点 $M_1(3,-2,9)$，法向量 $(-1,2,1)$，平面方程为
$$
-1(x - 3) + 2(y + 2) + 1(z - 9) = 0
$$
化简：
$$
-(x - 3) + 2(y + 2) + (z - 9) = 0
$$
$$
-x + 3 + 2y + 4 + z - 9 = 0
$$
$$
-x + 2y + z - 2 = 0
$$
或乘以-1：
$$
x - 2y - z + 2 = 0
$$
最终答案：
$$
\boxed{x - 2y - z + 2 = 0}
$$
难度：★★☆☆☆