人邮高数 第5章 第5-2-14题
📝 题目
14．求通过 $z$ 轴且与平面 $2 x+y-\sqrt{5} z-7=0$ 的夹角为 $\displaystyle \frac{\pi}{3}$ 的平面的方程．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求的是通过 $z$ 轴的平面方程。
通过 $z$ 轴的平面方程一般形式可设为
$$
Ax + By = 0
$$
因为通过 $z$ 轴意味着平面包含所有点 $(0,0,z)$，所以方程中不含常数项且不含 $z$ 项，法向量为 $(A, B, 0)$。
已知另一平面的方程为
$$
2x + y - \sqrt{5}z - 7 = 0
$$
它的法向量为 $\mathbf{n}_1 = (2, 1, -\sqrt{5})$。
两平面的夹角定义为它们法向量夹角的锐角，因此
$$
\cos\theta = \frac{|\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2|}{\|\mathbf{n}_1\| \|\mathbf{n}_2\|}
$$
这里 $\theta = \frac{\pi}{3}$，所以
$$
\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}
$$
设所求平面的法向量为 $\mathbf{n}_2 = (A, B, 0)$，则
$$
\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2 = 2A + B
$$
$$
\|\mathbf{n}_1\| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-\sqrt{5})^2} = \sqrt{4 + 1 + 5} = \sqrt{10}
$$
$$
\|\mathbf{n}_2\| = \sqrt{A^2 + B^2}
$$
代入夹角公式：
$$
\frac{|2A + B|}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{A^2 + B^2}} = \frac{1}{2}
$$
两边平方：
$$
\frac{(2A + B)^2}{10(A^2 + B^2)} = \frac{1}{4}
$$
交叉相乘：
$$
4(2A + B)^2 = 10(A^2 + B^2)
$$
展开：
$$
4(4A^2 + 4AB + B^2) = 10A^2 + 10B^2
$$
$$
16A^2 + 16AB + 4B^2 = 10A^2 + 10B^2
$$
移项：
$$
6A^2 + 16AB - 6B^2 = 0
$$
除以2：
$$
3A^2 + 8AB - 3B^2 = 0
$$
这是一个齐次方程，可视为关于 $A/B$ 的二次方程（设 $B \neq 0$）：
$$
3\left(\frac{A}{B}\right)^2 + 8\left(\frac{A}{B}\right) - 3 = 0
$$
解得：
$$
\frac{A}{B} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 36}}{6} = \frac{-8 \pm 10}{6}
$$
即
$$
\frac{A}{B} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \quad \text{或} \quad \frac{A}{B} = \frac{-18}{6} = -3
$$
因此取 $A=1, B=3$ 或 $A=3, B=-1$（比例关系），得到两个平面方程：
$$
x + 3y = 0 \quad \text{或} \quad 3x - y = 0
$$
所以所求平面方程为
$$
\boxed{x+3y=0} \quad \text{或} \quad \boxed{3x-y=0}
$$
难度：★★☆☆☆