人邮高数 第5章 第5-2-16题

[AI解答]

[AI解答]
要证明过不共线三点 $(x_i, y_i, z_i), i=1,2,3$ 的平面方程可以表示为
$$
\left|\begin{array}{ccc}
x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\
x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\
x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1
\end{array}\right| = 0,
$$
我们利用向量共面的条件。

证明步骤：
1. 设三点为 $P_1(x_1,y_1,z_1), P_2(x_2,y_2,z_2), P_3(x_3,y_3,z_3)$，且它们不共线，则向量
$$
\vec{P_1P_2} = (x_2-x_1,\; y_2-y_1,\; z_2-z_1),\quad
\vec{P_1P_3} = (x_3-x_1,\; y_3-y_1,\; z_3-z_1)
$$
线性无关，构成平面的一组基向量。

2. 对于平面上任意一点 $P(x,y,z)$，向量
$$
\vec{P_1P} = (x-x_1,\; y-y_1,\; z-z_1)
$$
应与 $\vec{P_1P_2}$ 和 $\vec{P_1P_3}$ 共面。三个向量共面的充要条件是它们的混合积为零，即
$$
\vec{P_1P} \cdot (\vec{P_1P_2} \times \vec{P_1P_3}) = 0.
$$

3. 混合积可以用行列式表示：
$$
\left|\begin{array}{ccc}
x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\
x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\
x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1
\end{array}\right| = 0.
$$
这就是过三点的平面方程。证毕。

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具体应用：
给定三点：
$A(1,1,-1),\; B(-2,-2,2),\; C(1,-1,2)$。
取 $P_1=A$，则
$$
x_1=1,\; y_1=1,\; z_1=-1,
$$
$$
x_2-x_1 = -2-1 = -3,\quad y_2-y_1 = -2-1 = -3,\quad z_2-z_1 = 2-(-1)=3,
$$
$$
x_3-x_1 = 1-1 = 0,\quad y_3-y_1 = -1-1 = -2,\quad z_3-z_1 = 2-(-1)=3.
$$
代入行列式得：
$$
\left|\begin{array}{ccc}
x-1 & y-1 & z+1 \\
-3 & -3 & 3 \\
0 & -2 & 3
\end{array}\right| = 0.
$$
计算行列式：
按第一行展开：
$$
(x-1)\cdot\left|\begin{array}{cc}
-3 & 3 \\
-2 & 3
\end{array}\right|
- (y-1)\cdot\left|\begin{array}{cc}
-3 & 3 \\
0 & 3
\end{array}\right|
+ (z+1)\cdot\left|\begin{array}{cc}
-3 & -3 \\
0 & -2
\end{array}\right|.
$$
分别计算：
第一个子式：$(-3)\cdot3 - 3\cdot(-2) = -9 + 6 = -3$，
第二个子式：$(-3)\cdot3 - 3\cdot0 = -9$，注意前面有负号，所以贡献为 $- (y-1)(-9) = 9(y-1)$，
第三个子式：$(-3)\cdot(-2) - (-3)\cdot0 = 6$。

因此行列式为：
$$
(x-1)(-3) + 9(y-1) + (z+1)\cdot 6 = 0,
$$
即
$$
-3(x-1) + 9(y-1) + 6(z+1) = 0.
$$
两边除以3：
$$
-(x-1) + 3(y-1) + 2(z+1) = 0.
$$
化简：
$$
-x + 1 + 3y - 3 + 2z + 2 = 0,
$$
$$
-x + 3y + 2z + (1-3+2) = -x + 3y + 2z + 0 = 0.
$$
所以平面方程为
$$
-x + 3y + 2z = 0 \quad\text{或}\quad x - 3y - 2z = 0.
$$

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难度评级：★★☆☆☆
（主要考察空间解析几何中向量共面条件与行列式表示，计算简单，思路直接。）