人邮高数 第5章 第5-2-3题
📝 题目
3．求满足下列条件的平面方程。
（1）过点 $M(1,1,1)$ 且与平面 $3 x-y+2 z-1=0$ 平行；
（2）过点 $M(1,2,1)$ 且同时与平面 $x+y-2 z+1=0$ 和 $2 x-y+z=0$ 垂直；
（3）与 $x 、 y 、 z$ 轴的交点分别为 $(2,0,0),(0,-3,0)$ 和 $(0,0,-1)$ ；
（4）平行于 $x$ 轴且经过点 $(1,2,-1)$ ；
（5）垂直于两平面 $x-y+z-1=0,2 x+y+z+1=0$ 且通过点 $(1,-1,1)$ ；
（6）平行于向量 $\boldsymbol{a}=(2,1,-1)$ 且在 $x$ 轴、 $y$ 轴上的截距依次为 3 和 -2 。
💡 答案解析
[AI解答]
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以下为各小题的完整求解过程。
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（1）过点 $M(1,1,1)$ 且与平面 $3x - y + 2z - 1 = 0$ 平行
所求平面与已知平面平行，故法向量相同：
$$
\boldsymbol{n} = (3, -1, 2)
$$
由点法式得平面方程：
$$
3(x - 1) - (y - 1) + 2(z - 1) = 0
$$
化简：
$$
3x - 3 - y + 1 + 2z - 2 = 0
$$
$$
3x - y + 2z - 4 = 0
$$
因此平面方程为：
$$
\boxed{3x - y + 2z - 4 = 0}
$$
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（2）过点 $M(1,2,1)$ 且同时与两平面垂直
两已知平面的法向量分别为：
$$
\boldsymbol{n}_1 = (1, 1, -2),\quad \boldsymbol{n}_2 = (2, -1, 1)
$$
所求平面与二者垂直，故其法向量可取为 $\boldsymbol{n}_1 \times \boldsymbol{n}_2$：
$$
\boldsymbol{n} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & 1 & -2 \\
2 & -1 & 1
\end{vmatrix}
= \mathbf{i}(1 \cdot 1 - (-2)(-1)) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - (-2)(2)) + \mathbf{k}(1 \cdot (-1) - 1 \cdot 2)
$$
$$
= \mathbf{i}(1 - 2) - \mathbf{j}(1 + 4) + \mathbf{k}(-1 - 2)
$$
$$
= (-1, -5, -3)
$$
取 $\boldsymbol{n} = (1, 5, 3)$ 也可。由点法式：
$$
1(x - 1) + 5(y - 2) + 3(z - 1) = 0
$$
化简：
$$
x - 1 + 5y - 10 + 3z - 3 = 0
$$
$$
x + 5y + 3z - 14 = 0
$$
因此：
$$
\boxed{x + 5y + 3z - 14 = 0}
$$
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（3）与坐标轴交点为 $(2,0,0), (0,-3,0), (0,0,-1)$
由截距式方程：
$$
\frac{x}{2} + \frac{y}{-3} + \frac{z}{-1} = 1
$$
化简：
$$
\frac{x}{2} - \frac{y}{3} - z = 1
$$
两边乘以 6：
$$
3x - 2y - 6z = 6
$$
因此：
$$
\boxed{3x - 2y - 6z - 6 = 0}
$$
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（4）平行于 $x$ 轴且经过点 $(1,2,-1)$
平面平行于 $x$ 轴，则法向量垂直于 $x$ 轴方向 $(1,0,0)$，即法向量的 $x$ 分量为 0。
设平面方程为：
$$
0 \cdot x + By + Cz + D = 0 \quad\Rightarrow\quad By + Cz + D = 0
$$
代入点 $(1,2,-1)$：
$$
2B - C + D = 0
$$
取 $B=1, C=0, D=-2$ 得一个特解：
$$
y - 2 = 0
$$
因此：
$$
\boxed{y - 2 = 0}
$$
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（5）垂直于两平面且过点 $(1,-1,1)$
两已知平面法向量：
$$
\boldsymbol{n}_1 = (1, -1, 1),\quad \boldsymbol{n}_2 = (2, 1, 1)
$$
所求平面与二者垂直，故其法向量为 $\boldsymbol{n}_1 \times \boldsymbol{n}_2$：
$$
\boldsymbol{n} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & -1 & 1 \\
2 & 1 & 1
\end{vmatrix}
= \mathbf{i}((-1)\cdot 1 - 1\cdot 1) - \mathbf{j}(1\cdot 1 - 1\cdot 2) + \mathbf{k}(1\cdot 1 - (-1)\cdot 2)
$$
$$
= \mathbf{i}(-1 - 1) - \mathbf{j}(1 - 2) + \mathbf{k}(1 + 2)
$$
$$
= (-2, 1, 3)
$$
由点法式：
$$
-2(x - 1) + 1(y + 1) + 3(z - 1) = 0
$$
化简：
$$
-2x + 2 + y + 1 + 3z - 3 = 0
$$
$$
-2x + y + 3z = 0
$$
或乘以 -1：
$$
\boxed{2x - y - 3z = 0}
$$
---
（6）平行于向量 $\boldsymbol{a}=(2,1,-1)$，且在 $x$、$y$ 轴截距为 3 和 -2
由截距形式，设平面方程为：
$$
\frac{x}{3} + \frac{y}{-2} + \frac{z}{c} = 1
$$
即：
$$
\frac{x}{3} - \frac{y}{2} + \frac{z}{c} = 1
$$
法向量为：
$$
\boldsymbol{n} = \left(\frac{1}{3}, -\frac{1}{2}, \frac{1}{c}\right)
$$
平面平行于 $\boldsymbol{a}$，故 $\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{a} = 0$：
$$
\frac{1}{3} \cdot 2 + \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot 1 + \frac{1}{c} \cdot (-1) = 0
$$
$$
\frac{2}{3} - \frac{1}{2} - \frac{1}{c} = 0
$$
通分：
$$
\frac{4}{6} - \frac{3}{6} = \frac{1}{c}
$$
$$
\frac{1}{6} = \frac{1}{c} \quad\Rightarrow\quad c = 6
$$
代入截距式：
$$
\frac{x}{3} - \frac{y}{2} + \frac{z}{6} = 1
$$
乘以 6：
$$
2x - 3y + z = 6
$$
因此：
$$
\boxed{2x - 3y + z - 6 = 0}
$$
---
难度评级：★★☆☆☆
（主要考查平面方程的点法式、截距式、方向与法向关系，计算量小，思路直接）