人邮高数 第5章 第5-2-7题
📝 题目
7．求过三点 $A(2,3,0) 、 B(-2,-3,4)$ 和 $C(0,6,0)$ 的平面方程．
💡 答案解析
[AI解答]
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求过三点 $A(2,3,0)$、$B(-2,-3,4)$ 和 $C(0,6,0)$ 的平面方程。
第一步：构造两个方向向量
取
$$
\overrightarrow{AB} = B - A = (-2-2,\ -3-3,\ 4-0) = (-4,\ -6,\ 4)
$$
$$
\overrightarrow{AC} = C - A = (0-2,\ 6-3,\ 0-0) = (-2,\ 3,\ 0)
$$
第二步：求平面的法向量
法向量 $\mathbf{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$，计算如下：
$$
\mathbf{n} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
-4 & -6 & 4 \\
-2 & 3 & 0
\end{vmatrix}
= \mathbf{i} \left( (-6)\cdot 0 - 4\cdot 3 \right) - \mathbf{j} \left( (-4)\cdot 0 - 4\cdot (-2) \right) + \mathbf{k} \left( (-4)\cdot 3 - (-6)\cdot (-2) \right)
$$
计算各分量：
- $i$ 分量：$0 - 12 = -12$
- $j$ 分量：$-(0 + 8) = -8$
- $k$ 分量：$-12 - 12 = -24$
因此
$$
\mathbf{n} = (-12,\ -8,\ -24)
$$
可约去公因子 $-4$，得简化法向量
$$
\mathbf{n} = (3,\ 2,\ 6)
$$
第三步：写出平面方程
取点 $A(2,3,0)$，法向量 $(3,2,6)$，平面方程为
$$
3(x - 2) + 2(y - 3) + 6(z - 0) = 0
$$
化简：
$$
3x - 6 + 2y - 6 + 6z = 0
$$
$$
3x + 2y + 6z - 12 = 0
$$
最终平面方程
$$
\boxed{3x + 2y + 6z = 12}
$$
难度：★☆☆☆☆（直接套用公式，计算简单，无复杂技巧）