人邮高数 第5章 第5-3-10题
📝 题目
10．求过直线 $\displaystyle \frac{x-2}{5}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{4}$ 且与平面 $x+4 y-3 z+7=0$ 垂直的平面方程．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求一个平面，它同时满足两个条件：
1. 过给定直线
2. 与已知平面垂直
第一步：写出直线的方向向量与已知平面的法向量
直线的对称式方程是
$$
\frac{x-2}{5}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{4}
$$
所以直线的方向向量为
$$
\vec{s} = (5, 2, 4)
$$
已知平面方程为
$$
x + 4y - 3z + 7 = 0
$$
它的法向量为
$$
\vec{n}_1 = (1, 4, -3)
$$
第二步：确定所求平面的法向量
所求平面过直线，因此直线的方向向量 $\vec{s}$ 平行于所求平面。
所求平面又与已知平面垂直，因此已知平面的法向量 $\vec{n}_1$ 也平行于所求平面。
于是所求平面的法向量 $\vec{n}$ 应同时垂直于 $\vec{s}$ 和 $\vec{n}_1$，即取它们的叉积：
$$
\vec{n} = \vec{s} \times \vec{n}_1 =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
5 & 2 & 4 \\
1 & 4 & -3
\end{vmatrix}
$$
计算：
$$
\vec{n} = \mathbf{i} \big(2 \cdot (-3) - 4 \cdot 4\big)
- \mathbf{j} \big(5 \cdot (-3) - 4 \cdot 1\big)
+ \mathbf{k} \big(5 \cdot 4 - 2 \cdot 1\big)
$$
$$
= \mathbf{i} (-6 - 16) - \mathbf{j} (-15 - 4) + \mathbf{k} (20 - 2)
$$
$$
= (-22, 19, 18)
$$
第三步：确定平面上一点并写出平面方程
直线过点 $ (2, -1, 2) $，该点也在所求平面上。
因此平面方程为：
$$
-22(x - 2) + 19(y + 1) + 18(z - 2) = 0
$$
展开：
$$
-22x + 44 + 19y + 19 + 18z - 36 = 0
$$
$$
-22x + 19y + 18z + (44 + 19 - 36) = 0
$$
$$
-22x + 19y + 18z + 27 = 0
$$
两边乘以 $-1$ 得：
$$
22x - 19y - 18z - 27 = 0
$$
最终答案：
$$
\boxed{22x - 19y - 18z - 27 = 0}
$$
难度：★★☆☆☆