人邮高数 第5章 第5-3-14题
📝 题目
14．求点 $P_{0}(3,-1,-1)$ 在平面 $\Pi: x+2 y+3 z-40=0$ 上的投影．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求点 $P_0(3,-1,-1)$ 在平面 $\Pi: x+2y+3z-40=0$ 上的投影点。投影点即过 $P_0$ 且垂直于平面的直线与平面的交点。
第一步：确定平面的法向量
由平面方程 $x+2y+3z-40=0$，可知法向量为
$$
\vec{n} = (1,2,3)
$$
**第二步：写出过 $P_0$ 且垂直于平面的直线参数方程**
直线的方向向量即法向量 $\vec{n}$，因此直线参数方程为
$$
\begin{cases}
x = 3 + t,\\
y = -1 + 2t,\\
z = -1 + 3t
\end{cases}
\quad t \in \mathbb{R}
$$
**第三步：将直线参数代入平面方程求参数 $t$**
代入 $x+2y+3z-40=0$：
$$
(3+t) + 2(-1+2t) + 3(-1+3t) - 40 = 0
$$
逐项计算：
$$
3 + t -2 + 4t -3 + 9t - 40 = 0
$$
合并常数项：
$$
3 - 2 - 3 - 40 = -42
$$
合并 $t$ 的系数：
$$
t + 4t + 9t = 14t
$$
因此得到：
$$
14t - 42 = 0 \quad\Rightarrow\quad t = 3
$$
第四步：求出投影点坐标
将 $t=3$ 代回直线参数方程：
$$
x = 3 + 3 = 6,\quad y = -1 + 6 = 5,\quad z = -1 + 9 = 8
$$
所以投影点为
$$
\boxed{(6,5,8)}
$$
难度评级：★☆☆☆☆
（直接套用公式，计算简单，无复杂技巧）