人邮高数 第5章 第5-3-18题

[AI解答]

[AI解答]

我们要求过点 $P(2,1,3)$ 且与给定直线垂直相交的直线方程。
已知直线为：
$$
\frac{x+1}{3} = \frac{y-1}{2} = \frac{z}{-1}
$$
其方向向量为：
$$
\vec{s} = (3, 2, -1)
$$

设所求直线与已知直线的交点为 $Q$，则 $Q$ 在已知直线上，可设参数形式：
$$
Q = (-1 + 3t,\; 1 + 2t,\; -t)
$$

由于所求直线过 $P(2,1,3)$ 且与已知直线垂直，所以向量 $\overrightarrow{PQ}$ 与方向向量 $\vec{s}$ 垂直，即点积为零：
$$
\overrightarrow{PQ} = ( -1 + 3t - 2,\; 1 + 2t - 1,\; -t - 3 ) = (3t - 3,\; 2t,\; -t - 3)
$$
点积条件：
$$
(3t - 3)\cdot 3 + (2t)\cdot 2 + (-t - 3)\cdot (-1) = 0
$$
计算：
$$
9t - 9 + 4t + t + 3 = 0
$$
$$
14t - 6 = 0
$$
$$
t = \frac{3}{7}
$$

代入得交点：
$$
Q = \left(-1 + \frac{9}{7},\; 1 + \frac{6}{7},\; -\frac{3}{7}\right) = \left(\frac{2}{7},\; \frac{13}{7},\; -\frac{3}{7}\right)
$$

于是所求直线的方向向量为：
$$
\overrightarrow{PQ} = \left( \frac{2}{7} - 2,\; \frac{13}{7} - 1,\; -\frac{3}{7} - 3 \right)
= \left( -\frac{12}{7},\; \frac{6}{7},\; -\frac{24}{7} \right)
$$
可约去公因子 $\frac{6}{7}$ 得方向向量：
$$
(-2,\; 1,\; -4)
$$

因此所求直线方程为：
$$
\frac{x - 2}{-2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 3}{-4}
$$

难度：★★☆☆☆