人邮高数 第5章 第5-3-3题
📝 题目
3．用点向式方程及参数方程表示直线 $\left\{\begin{array}{l}x+2 y-z-6=0, \\ 2 x-y+z-1=0 .\end{array}\right.$
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
将直线表示为两个平面交线，先求直线上一点和方向向量。
第一步：求直线上一点
令 $z=0$，则方程组化为
$$
\begin{cases}
x+2y=6, \\
2x-y=1.
\end{cases}
$$
解之：由第二式得 $y=2x-1$，代入第一式：
$$
x+2(2x-1)=6 \implies 5x-2=6 \implies x=\frac{8}{5},\quad y=2\cdot\frac{8}{5}-1=\frac{16}{5}-1=\frac{11}{5}.
$$
因此直线上一点为 $\displaystyle P\left(\frac{8}{5},\frac{11}{5},0\right)$。
第二步：求方向向量
方向向量 $\vec{s}$ 垂直于两平面的法向量
$$
\vec{n}_1=(1,2,-1),\quad \vec{n}_2=(2,-1,1).
$$
取
$$
\vec{s}=\vec{n}_1\times\vec{n}_2=
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & 2 & -1 \\
2 & -1 & 1
\end{vmatrix}.
$$
计算：
$$
\mathbf{i}(2\cdot1-(-1)\cdot(-1))-\mathbf{j}(1\cdot1-(-1)\cdot2)+\mathbf{k}(1\cdot(-1)-2\cdot2)
$$
$$
=\mathbf{i}(2-1)-\mathbf{j}(1+2)+\mathbf{k}(-1-4)
=(1,-3,-5).
$$
所以方向向量 $\vec{s}=(1,-3,-5)$。
第三步：点向式方程
由点 $P$ 和方向向量得
$$
\frac{x-\frac{8}{5}}{1}=\frac{y-\frac{11}{5}}{-3}=\frac{z-0}{-5}.
$$
第四步：参数方程
令参数为 $t$，则
$$
\begin{cases}
\displaystyle x=\frac{8}{5}+t,\$$6pt]
\displaystyle y=\frac{11}{5}-3t,\$$6pt]
z=-5t.
\end{cases}
$$
最终答案
点向式：
$$
\frac{x-\frac{8}{5}}{1}=\frac{y-\frac{11}{5}}{-3}=\frac{z}{-5}.
$$
参数式：
$$
\begin{cases}
x=\frac{8}{5}+t,\$$4pt]
y=\frac{11}{5}-3t,\$$4pt]
z=-5t.
\end{cases}
$$
难度：★★☆☆☆