人邮高数 第5章 第5-3-8题
📝 题目
8．求直线 $\left\{\begin{array}{l}2 x-4 y+z=0, \\ 3 x-y-2 z-9=0\end{array}\right.$ 在平面 $4 x-y+z=1$ 的投影直线方程．
💡 答案解析
[AI解答]
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首先将直线的一般式方程转化为对称式（点向式）。
直线由两个平面方程联立给出：
$$
\begin{cases}
2x - 4y + z = 0, & (1)\\
3x - y - 2z - 9 = 0. & (2)
\end{cases}
$$
第一步：求直线的方向向量
方向向量 $\vec{s}$ 垂直于两平面的法向量。
法向量分别为
$\vec{n}_1 = (2, -4, 1)$，$\vec{n}_2 = (3, -1, -2)$。
方向向量：
$$
\vec{s} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2
= \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
2 & -4 & 1 \\
3 & -1 & -2
\end{vmatrix}
$$
计算：
$$
\vec{s} = \big( (-4)(-2) - (1)(-1),\; (1)(3) - (2)(-2),\; (2)(-1) - (-4)(3) \big)
$$
$$
= (8 + 1,\; 3 + 4,\; -2 + 12) = (9, 7, 10).
$$
第二步：求直线上一点
令 $z = 0$，代入(1)(2)：
$$
\begin{cases}
2x - 4y = 0 \Rightarrow x = 2y,\\
3x - y - 9 = 0.
\end{cases}
$$
代入 $x = 2y$ 到第二式：
$3(2y) - y - 9 = 6y - y - 9 = 5y - 9 = 0 \Rightarrow y = \frac{9}{5}$，
则 $x = \frac{18}{5}$。
所以直线上一点 $P_0\left(\frac{18}{5}, \frac{9}{5}, 0\right)$。
直线对称式：
$$
\frac{x - \frac{18}{5}}{9} = \frac{y - \frac{9}{5}}{7} = \frac{z}{10}.
$$
第三步：求投影直线方向
投影直线是过原直线且垂直于已知平面 $4x - y + z = 1$ 的平面与已知平面的交线。
已知平面法向量 $\vec{n} = (4, -1, 1)$。
过原直线且垂直于已知平面的平面法向量为 $\vec{s} \times \vec{n}$。
计算：
$$
\vec{s} \times \vec{n} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
9 & 7 & 10 \\
4 & -1 & 1
\end{vmatrix}
$$
$$
= \big( 7\cdot 1 - 10\cdot(-1),\; 10\cdot 4 - 9\cdot 1,\; 9\cdot(-1) - 7\cdot 4 \big)
$$
$$
= (7 + 10,\; 40 - 9,\; -9 - 28) = (17, 31, -37).
$$
所以过原直线且垂直于已知平面的平面方程为：
$$
17\left(x - \frac{18}{5}\right) + 31\left(y - \frac{9}{5}\right) - 37(z - 0) = 0.
$$
化简：
$$
17x + 31y - 37z - \frac{306}{5} - \frac{279}{5} = 0
$$
$$
17x + 31y - 37z - \frac{585}{5} = 0
$$
$$
17x + 31y - 37z - 117 = 0.
$$
第四步：投影直线即为两平面交线
投影直线方程：
$$
\boxed{\begin{cases}
4x - y + z = 1,\\
17x + 31y - 37z = 117.
\end{cases}}
$$
难度：★★☆☆☆