人邮高数 第5章 第5-4-1题

[AI解答]

[AI解答]

（1）
球面方程：
$$
2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}-z=0
$$
两边除以2：
$$
x^{2}+y^{2}+z^{2}-\frac{1}{2}z=0
$$
配方：
$$
x^{2}+y^{2}+\left(z^{2}-\frac{1}{2}z+\frac{1}{16}\right)=\frac{1}{16}
$$
即
$$
x^{2}+y^{2}+\left(z-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}
$$
所以球心为 $\displaystyle{}\left(0,0,\frac{1}{4}\right)$，半径为 $\displaystyle{}\frac{1}{4}$。

（2）
准线为
$$
\begin{cases}
x^{2}+y^{2}+z^{2}=9\\
y=1
\end{cases}
$$
消去 $y$ 得：
$$
x^{2}+1+z^{2}=9 \quad\Rightarrow\quad x^{2}+z^{2}=8
$$
母线平行于 $y$ 轴，故柱面方程为
$$
x^{2}+z^{2}=8
$$

（3）
$yOz$ 面上的曲线 $2y^{2}+z=1$ 绕 $z$ 轴旋转，旋转曲面方程中 $y^{2}$ 替换为 $x^{2}+y^{2}$，得
$$
2(x^{2}+y^{2})+z=1
$$
即
$$
2x^{2}+2y^{2}+z=1
$$

（4）
曲线
$$
\begin{cases}
x^{2}+y^{2}+z^{2}=25\\
x^{2}+y^{2}=4
\end{cases}
$$
在 $xOy$ 面上的投影柱面，即消去 $z$：
由第一式减去第二式得
$$
z^{2}=21
$$
但投影柱面应不含 $z$，直接由第二式 $x^{2}+y^{2}=4$ 即为所求投影柱面方程，因为它与 $z$ 无关且包含原曲线在 $xOy$ 上的投影。
因此投影柱面方程为
$$
x^{2}+y^{2}=4
$$

答案：
（1）球心 $\displaystyle{}\left(0,0,\frac{1}{4}\right)$，半径 $\displaystyle{}\frac{1}{4}$
（2）$x^{2}+z^{2}=8$
（3）$2x^{2}+2y^{2}+z=1$
（4）$x^{2}+y^{2}=4$

难度：★★☆☆☆