人邮高数 第5章 第5-4-15题

[AI解答]

[AI解答]
我们要求曲线
$$
\begin{cases}
(x+2)^2 - z^2 = 4, \\
(x-2)^2 + y^2 = 4
\end{cases}
$$
在 $yOz$ 平面上的投影。投影即消去变量 $x$，得到只含 $y,z$ 的关系式。

**第一步：从第一个方程解出 $x$**
第一个方程
$$
(x+2)^2 - z^2 = 4 \quad\Rightarrow\quad (x+2)^2 = z^2 + 4.
$$
因此
$$
x+2 = \pm\sqrt{z^2+4} \quad\Rightarrow\quad x = -2 \pm \sqrt{z^2+4}.
$$

第二步：代入第二个方程
第二个方程
$$
(x-2)^2 + y^2 = 4.
$$
将 $x$ 的表达式代入，分两种情况。

情况1： $x = -2 + \sqrt{z^2+4}$
则
$$
x-2 = -4 + \sqrt{z^2+4}.
$$
于是
$$
(x-2)^2 = \left( \sqrt{z^2+4} - 4 \right)^2.
$$
代入得
$$
\left( \sqrt{z^2+4} - 4 \right)^2 + y^2 = 4.
$$

情况2： $x = -2 - \sqrt{z^2+4}$
则
$$
x-2 = -4 - \sqrt{z^2+4}.
$$
于是
$$
(x-2)^2 = \left( \sqrt{z^2+4} + 4 \right)^2.
$$
代入得
$$
\left( \sqrt{z^2+4} + 4 \right)^2 + y^2 = 4.
$$

第三步：化简并判断可行性
对于情况2，因为 $\sqrt{z^2+4} \ge 2$，所以
$$
\sqrt{z^2+4} + 4 \ge 6 \quad\Rightarrow\quad (x-2)^2 \ge 36,
$$
这不可能等于 $4 - y^2 \le 4$，因此情况2无实数解，舍去。

第四步：化简情况1
由情况1：
$$
\left( \sqrt{z^2+4} - 4 \right)^2 + y^2 = 4.
$$
展开：
$$
(z^2+4) - 8\sqrt{z^2+4} + 16 + y^2 = 4,
$$
即
$$
z^2 + y^2 + 20 - 8\sqrt{z^2+4} = 4,
$$
$$
z^2 + y^2 + 16 = 8\sqrt{z^2+4}.
$$
两边平方（注意此时右边非负，左边也应非负，需检查范围）：
$$
(z^2 + y^2 + 16)^2 = 64(z^2+4).
$$

第五步：整理投影方程
展开左边：
$$
(z^2 + y^2)^2 + 32(z^2 + y^2) + 256 = 64z^2 + 256.
$$
两边消去256：
$$
(z^2 + y^2)^2 + 32(z^2 + y^2) = 64z^2.
$$
移项：
$$
(z^2 + y^2)^2 + 32y^2 + 32z^2 - 64z^2 = 0,
$$
即
$$
(z^2 + y^2)^2 + 32y^2 - 32z^2 = 0.
$$
或写成
$$
(z^2 + y^2)^2 = 32(z^2 - y^2).
$$

第六步：确定取值范围
由平方前方程 $z^2 + y^2 + 16 = 8\sqrt{z^2+4}$，右边为正，所以左边必须为正，恒成立。
另外，由原曲线第二个方程 $(x-2)^2 + y^2 = 4$ 可知 $|y| \le 2$，且由第一个方程知 $z$ 任意实数，但投影后需满足上述方程。
因此投影曲线方程为
$$
\boxed{(z^2 + y^2)^2 = 32(z^2 - y^2)},\quad |y| \le 2.
$$

难度评级：★★★☆☆
（涉及空间曲线投影、消元、平方处理及范围讨论，有一定代数复杂度，但思路清晰。）