人邮高数 第5章 第5-4-17题
📝 题目
17．证明曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}4 x-5 y-10 z-20=0, \\ \frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}-\frac{z^{2}}{4}=1\end{array}\right.$ 是两条直线．
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline 向量及其性质 & \begin{tabular}{l}
会计算二阶、三阶行列式 \\
理解空间直角坐标系 \\
理解向量的概念及其表示 \\
掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积） \\
掌握两个向量垂直、平行的条件 \\
掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法
\end{tabular} \\
\hline 平面与直线 & \begin{tabular}{l}
掌握平面的方程及其求法 \\
掌握直线的方程及其求法 \\
会利用平面、直线的相互关系解决有关问题
\end{tabular} \\
\hline 曲面与曲线 & \begin{tabular}{l}
理解曲面方程的概念 \\
了解常用二次曲面的方程及其图形 \\
了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面 \\
了解母线平行于坐标轴的柱面方程 \\
了解空间曲线的参数方程和一般方程 \\
了解曲面的交线在坐标平面上的投影
\end{tabular} \\
\hline
\end{tabular}
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
要证明曲线
$$
\begin{cases}
4x - 5y - 10z - 20 = 0, \$$2mm]
\displaystyle{\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} - \frac{z^{2}}{4} = 1}
\end{cases}
$$
是两条直线，即证明该方程组表示两个相交（或平行）的直线，或者说该交线退化为两条直线。
第一步：分析方程结构
第一个方程是平面方程：
$$
4x - 5y - 10z = 20
$$
第二个方程是双曲面的标准形式：
$$
\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} - \frac{z^{2}}{4} = 1
$$
平面与双曲面相交，一般情况下交线是二次曲线。要使其退化为两条直线，需要平面恰好通过双曲面的中心且方向合适，或平面与双曲面相切于两条母线。
第二步：尝试参数化或消元
由第一个方程解出 $z$：
$$
10z = 4x - 5y - 20 \quad\Rightarrow\quad z = \frac{4x - 5y - 20}{10}
$$
代入第二个方程：
$$
\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} - \frac{1}{4}\left(\frac{4x - 5y - 20}{10}\right)^{2} = 1
$$
计算平方项：
$$
\left(\frac{4x - 5y - 20}{10}\right)^{2} = \frac{(4x - 5y - 20)^{2}}{100}
$$
因此方程变为：
$$
\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} - \frac{1}{4} \cdot \frac{(4x - 5y - 20)^{2}}{100} = 1
$$
化简系数：
$$
\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} - \frac{(4x - 5y - 20)^{2}}{400} = 1
$$
第三步：通分并整理
通分 $400$：
$$
\frac{16x^{2}}{400} + \frac{25y^{2}}{400} - \frac{(4x - 5y - 20)^{2}}{400} = 1
$$
即：
$$
\frac{16x^{2} + 25y^{2} - (4x - 5y - 20)^{2}}{400} = 1
$$
所以：
$$
16x^{2} + 25y^{2} - (4x - 5y - 20)^{2} = 400
$$
第四步：展开平方项
$$
(4x - 5y - 20)^{2} = 16x^{2} + 25y^{2} + 400 - 40xy - 160x + 200y
$$
代入：
$$
16x^{2} + 25y^{2} - \left(16x^{2} + 25y^{2} + 400 - 40xy - 160x + 200y\right) = 400
$$
化简左边：
$$
16x^{2} + 25y^{2} - 16x^{2} - 25y^{2} - 400 + 40xy + 160x - 200y = 400
$$
得到：
$$
40xy + 160x - 200y - 400 = 400
$$
即：
$$
40xy + 160x - 200y - 800 = 0
$$
第五步：因式分解
除以 $40$：
$$
xy + 4x - 5y - 20 = 0
$$
分组因式分解：
$$
x(y + 4) - 5(y + 4) = (x - 5)(y + 4) = 0
$$
因此：
$$
x - 5 = 0 \quad\text{或}\quad y + 4 = 0
$$
第六步：还原为空间直线
- 当 $x = 5$ 时，代入平面方程：
$$
4\cdot5 - 5y - 10z = 20 \quad\Rightarrow\quad 20 - 5y - 10z = 20 \quad\Rightarrow\quad -5y - 10z = 0 \quad\Rightarrow\quad y + 2z = 0
$$
得到第一条直线：
$$
\begin{cases}
x = 5, \\
y + 2z = 0
\end{cases}
$$
- 当 $y = -4$ 时，代入平面方程：
$$
4x - 5(-4) - 10z = 20 \quad\Rightarrow\quad 4x + 20 - 10z = 20 \quad\Rightarrow\quad 4x - 10z = 0 \quad\Rightarrow\quad 2x - 5z = 0
$$
得到第二条直线：
$$
\begin{cases}
y = -4, \\
2x - 5z = 0
\end{cases}
$$
因此原曲线由两条直线组成，证毕。
难度评级：★★★☆☆
（需要空间解析几何中曲面与平面交线的退化条件判断，以及代数消元与因式分解技巧，属于中等难度。）