人邮高数 第5章 第5-4-7题
📝 题目
7．把 $y O z$ 面上的双曲线 $y^{2}-z^{2}=1$ 分别绕 $z$ 轴及 $y$ 轴旋转一周，求所形成的旋转曲面方程。
💡 答案解析
[AI解答]
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题目：
把 $yOz$ 面上的双曲线 $y^{2}-z^{2}=1$ 分别绕 $z$ 轴及 $y$ 轴旋转一周，求所形成的旋转曲面方程。
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1. 绕 $z$ 轴旋转
在 $yOz$ 平面中，曲线方程为
$$
y^{2} - z^{2} = 1
$$
绕 $z$ 轴旋转时，$z$ 坐标不变，而 $y$ 坐标被替换为到 $z$ 轴的距离 $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$。
因此，旋转曲面方程为：
$$
(\sqrt{x^{2}+y^{2}})^{2} - z^{2} = 1
$$
即
$$
x^{2} + y^{2} - z^{2} = 1
$$
---
2. 绕 $y$ 轴旋转
绕 $y$ 轴旋转时，$y$ 坐标不变，而 $z$ 坐标被替换为到 $y$ 轴的距离 $\sqrt{x^{2}+z^{2}}$。
原方程 $y^{2} - z^{2} = 1$ 中的 $z$ 替换为 $\sqrt{x^{2}+z^{2}}$，得：
$$
y^{2} - (\sqrt{x^{2}+z^{2}})^{2} = 1
$$
即
$$
y^{2} - (x^{2}+z^{2}) = 1
$$
整理得：
$$
y^{2} - x^{2} - z^{2} = 1
$$
---
最终结果：
- 绕 $z$ 轴旋转：$\displaystyle{x^{2} + y^{2} - z^{2} = 1}$
- 绕 $y$ 轴旋转：$\displaystyle{y^{2} - x^{2} - z^{2} = 1}$
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难度：★★☆☆☆
（基础旋转曲面方程代入，只需掌握坐标替换规则即可。）
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：求绕z轴旋转的曲面方程
在yOz平面中，曲线方程为y^2 - z^2 = 1。绕z轴旋转时，z坐标不变，y坐标替换为到z轴的距离√(x^2+y^2)。代入得(√(x^2+y^2))^2 - z^2 = 1，即x^2+y^2-z^2=1。
公式：x^2+y^2-z^2=1
提示：绕z轴旋转，z不变，y替换为√(x^2+y^2)。
步骤 2/2
目标：求绕y轴旋转的曲面方程
绕y轴旋转时，y坐标不变，z坐标替换为到y轴的距离√(x^2+z^2)。代入原方程y^2 - (√(x^2+z^2))^2 = 1，得y^2 - (x^2+z^2)=1，即y^2-x^2-z^2=1。
公式：y^2-x^2-z^2=1
提示：绕y轴旋转，y不变，z替换为√(x^2+z^2)。
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