人邮高数 第1章 第1-5-1题

[AI解答]

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以下为各小题的详细解答，使用LaTeX格式书写。

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（1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \frac{x}{2}}{x}$

利用重要极限 $\displaystyle{\lim}_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$：

令 $\displaystyle u = \frac{x}{2}$，则 $x = 2u$，原式化为
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin \frac{x}{2}}{x} = \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{2u} = \frac12 \cdot 1 = \frac12.
$$

答案：$\displaystyle \boxed{\frac12}$

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（2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\tan 4 x}{x}$

利用 $\tan 4x \sim 4x$ 当 $x \to 0$：

$$
\lim_{x \to 0} \frac{\tan 4x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{4x}{x} = 4.
$$

答案：$\boxed{4}$

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（3） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 2 x}{\tan 3 x}$

利用等价无穷小：$\sin 2x \sim 2x$，$\tan 3x \sim 3x$：

$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\tan 3x} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{3x} = \frac23.
$$

答案：$\displaystyle \boxed{\frac23}$

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（4） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} x \cdot \cot 2 x$

$$
x \cot 2x = x \cdot \frac{\cos 2x}{\sin 2x} = \frac{x}{\sin 2x} \cdot \cos 2x.
$$

由于 $\displaystyle{\lim}_{x \to 0} \frac{x}{\sin 2x} = \frac12$，且 $\cos 2x \to 1$，故极限为 $\displaystyle \frac12$。

答案：$\displaystyle \boxed{\frac12}$

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（5） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos 2 x}{x \sin x}$

利用 $1 - \cos 2x = 2\sin^2 x$：

$$
\frac{1 - \cos 2x}{x \sin x} = \frac{2\sin^2 x}{x \sin x} = \frac{2\sin x}{x}.
$$

当 $x \to 0$，$\displaystyle \frac{\sin x}{x} \to 1$，故极限为 $2$。

答案：$\boxed{2}$

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（6） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} 5^{n} \sin \frac{x}{5^{n}}$

令 $\displaystyle t = \frac{x}{5^n}$，则 $n \to \infty$ 时 $t \to 0$，且 $\displaystyle 5^n = \frac{x}{t}$：

$$
5^n \sin \frac{x}{5^n} = \frac{x}{t} \sin t = x \cdot \frac{\sin t}{t} \to x \cdot 1 = x.
$$

答案：$\boxed{x}$

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（7） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow a} \frac{\cos x-\cos a}{x-a}$

利用和差化积：$\displaystyle \cos x - \cos a = -2 \sin\frac{x+a}{2} \sin\frac{x-a}{2}$：

$$
\frac{\cos x - \cos a}{x-a} = -2 \sin\frac{x+a}{2} \cdot \frac{\sin\frac{x-a}{2}}{x-a}.
$$

令 $\displaystyle u = \frac{x-a}{2}$，则 $\displaystyle \frac{\sin u}{2u} \to \frac12$，且 $\displaystyle \sin\frac{x+a}{2} \to \sin a$，故极限为 $-\sin a$。

答案：$\boxed{-\sin a}$

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（8） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x}{x+\sin x}$

分子分母同除以 $x$：

$$
\frac{x - \sin x}{x + \sin x} = \frac{1 - \frac{\sin x}{x}}{1 + \frac{\sin x}{x}} \to \frac{1 - 1}{1 + 1} = 0.
$$

答案：$\boxed{0}$

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（9） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\arcsin 2 x}{\sin 3 x}$

等价无穷小：$\arcsin 2x \sim 2x$，$\sin 3x \sim 3x$：

$$
\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin 2x}{\sin 3x} = \frac{2x}{3x} = \frac23.
$$

答案：$\displaystyle \boxed{\frac23}$

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（10） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \pi} \frac{\sin x}{\pi-x}$

令 $t = \pi - x$，则 $x = \pi - t$，$t \to 0$，且 $\sin x = \sin(\pi - t) = \sin t$：

$$
\lim_{x \to \pi} \frac{\sin x}{\pi - x} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1.
$$

答案：$\boxed{1}$

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（11） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{\sin ^{3} x}$

提取 $\displaystyle \tan x - \sin x = \sin x (\frac{1}{\cos x} - 1) = \sin x \cdot \frac{1 - \cos x}{\cos x}$：

$$
\frac{\tan x - \sin x}{\sin^3 x} = \frac{1 - \cos x}{\cos x \cdot \sin^2 x}.
$$

利用 $\displaystyle 1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$，$\sin x \sim x$：

$$
\frac{\frac{x^2}{2}}{1 \cdot x^2} = \frac12.
$$

答案：$\displaystyle \boxed{\frac12}$

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（12） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1}(1-x) \tan \frac{\pi x}{2}$

令 $t = 1 - x$，则 $x = 1 - t$，$t \to 0$：

$$
\tan\frac{\pi x}{2} = \tan\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi t}{2}\right) = \cot\frac{\pi t}{2}.
$$

于是原式为：
$$
t \cdot \cot\frac{\pi t}{2} = t \cdot \frac{\cos\frac{\pi t}{2}}{\sin\frac{\pi t}{2}} \sim t \cdot \frac{1}{\frac{\pi t}{2}} = \frac{2}{\pi}.
$$

答案：$\displaystyle \boxed{\frac{2}{\pi}}$