人邮高数 第6章 第6-1-1题

[AI解答]

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习题6-1 填空题解答

（1）
二元函数 $ z = |xy| + \frac{y}{x} $，代入 $ x = -1,\ y = \frac{2}{3} $：
$$
z\left(-1, \frac{2}{3}\right) = \left|(-1)\cdot\frac{2}{3}\right| + \frac{\frac{2}{3}}{-1}
= \frac{2}{3} - \frac{2}{3} = 0
$$
答案：$0$

（2）
函数 $ f(x, y) = xy + \frac{x}{y} $，
代入 $ \left(\frac12, \frac13\right) $：
$$
f\left(\frac12, \frac13\right) = \frac12 \cdot \frac13 + \frac{\frac12}{\frac13}
= \frac16 + \frac12 \cdot 3 = \frac16 + \frac32 = \frac16 + \frac96 = \frac{10}{6} = \frac53
$$
再求 $ f(x+y, 1) $：
$$
f(x+y, 1) = (x+y)\cdot 1 + \frac{x+y}{1} = x+y + x+y = 2(x+y)
$$
答案：$\frac53$；$2(x+y)$

（3）
函数 $ f(x, y) = x^2 + y^2 $，代入 $ (\sqrt{xy},\ x+y) $：
$$
f(\sqrt{xy}, x+y) = (\sqrt{xy})^2 + (x+y)^2 = xy + (x^2 + 2xy + y^2) = x^2 + 3xy + y^2
$$
答案：$x^2 + 3xy + y^2$

（4）
已知 $ f(x+y, x-y) = x^2 - y^2 $，而 $ x^2 - y^2 = (x+y)(x-y) $，
令 $ u = x+y,\ v = x-y $，则
$$
f(u, v) = u \cdot v
$$
所以
$$
f(x, y) = xy
$$
答案：$xy$

（5）
函数 $ f(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2} $，代入 $ \left(\frac{y}{x}, 1\right) $：
$$
f\left(\frac{y}{x}, 1\right) = \frac{\frac{y}{x} \cdot 1}{\left(\frac{y}{x}\right)^2 + 1^2}
= \frac{\frac{y}{x}}{\frac{y^2}{x^2} + 1}
= \frac{\frac{y}{x}}{\frac{y^2 + x^2}{x^2}}
= \frac{y}{x} \cdot \frac{x^2}{x^2 + y^2}
= \frac{xy}{x^2 + y^2}
$$
答案：$\displaystyle \frac{xy}{x^2 + y^2}$

（6）
二元函数
$$
z = \sqrt{4 - x^2 - y^2} + \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2 - 1}}
$$
定义域需满足：
$$
4 - x^2 - y^2 \ge 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 + y^2 \le 4
$$
且
$$
x^2 + y^2 - 1 > 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 + y^2 > 1
$$
所以定义域为
$$
1 < x^2 + y^2 \le 4
$$
答案：$\{ (x, y) \mid 1 < x^2 + y^2 \le 4 \}$

难度：★☆☆☆☆