人邮高数 第6章 第6-1-3题

[AI解答]

[AI解答]

以下为各小题的极限求解过程。

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（1）
$$
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}+y^{2}}{\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}-1}
$$

解：
令 $t = x^2 + y^2$，则当 $(x,y)\to(0,0)$ 时 $t\to 0^+$。原极限化为
$$
\lim_{t\to 0^+} \frac{t}{\sqrt{1+t}-1}
$$
有理化分母：
$$
\frac{t}{\sqrt{1+t}-1} = \frac{t(\sqrt{1+t}+1)}{(1+t)-1} = \frac{t(\sqrt{1+t}+1)}{t} = \sqrt{1+t}+1
$$
因此极限为
$$
\lim_{t\to 0^+} (\sqrt{1+t}+1) = 2
$$
故
$$
\boxed{2}
$$

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（2）
$$
\lim_{(x,y)\to(1,1)} \frac{2x - y^{2}}{x^{2}+y^{2}}
$$

解：
直接代入 $(x,y)=(1,1)$：
分子：$2\cdot 1 - 1^2 = 1$，分母：$1^2+1^2 = 2$，所以极限为
$$
\frac{1}{2}
$$
故
$$
\boxed{\frac12}
$$

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（3）
$$
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\mathrm{e}^{xy} \sqrt{1+x+y}}{1+\cos^{2}(x^{2}+y^{2})}
$$

解：
直接代入 $(0,0)$：
分子：$\mathrm{e}^{0} \cdot \sqrt{1+0+0} = 1$，分母：$1+\cos^{2}(0) = 1+1 = 2$，因此极限为
$$
\frac12
$$
故
$$
\boxed{\frac12}
$$

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（4）
$$
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\ln(x+\mathrm{e}^{y})}{x^{2}+y^{2}}
$$

解：
考虑沿不同路径趋近。取 $y=0$，则
$$
\lim_{x\to 0} \frac{\ln(x+1)}{x^{2}} = \lim_{x\to 0} \frac{x - \frac{x^{2}}{2} + o(x^{2})}{x^{2}} = \lim_{x\to 0} \frac{1}{x} - \frac12 + o(1)
$$
该极限不存在（趋于无穷）。因此原极限不存在。
故
$$
\boxed{\text{不存在}}
$$

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（5）
$$
\lim_{(x,y)\to(0,0)} y^{2} \ln(x^{2}+y^{2})
$$

解：
令 $x = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta$，则 $r\to 0^+$，
$$
y^{2} \ln(x^{2}+y^{2}) = r^{2}\sin^{2}\theta \cdot \ln(r^{2}) = 2 r^{2} \ln r \cdot \sin^{2}\theta
$$
已知 $\displaystyle\lim_{r\to 0^+} r^{2} \ln r = 0$，且 $|\sin^{2}\theta|\le 1$，故极限为
$$
0
$$
故
$$
\boxed{0}
$$

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（6）
$$
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\sin(x^{3}+y^{3})}{x^{2}+y^{2}}
$$

解：
利用 $\sin u \sim u$ 当 $u\to 0$，则
$$
\frac{\sin(x^{3}+y^{3})}{x^{2}+y^{2}} \sim \frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}
$$
取路径 $y = kx$，则
$$
\frac{x^{3}+k^{3}x^{3}}{x^{2}+k^{2}x^{2}} = x \cdot \frac{1+k^{3}}{1+k^{2}} \to 0
$$
由于 $x\to 0$，且该表达式对任意 $k$ 趋于 0，因此极限为 0。
故
$$
\boxed{0}
$$

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难度评级：★★☆☆☆
（主要考察多元函数极限的代入法、有理化、极坐标代换及路径判断，计算量小，但需注意不存在极限的判断方法。）