人邮高数 第6章 第6-1-5题
📝 题目
5．讨论下列函数在点 $(0,0)$ 处的连续性．
（1）$\displaystyle f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0 ;\end{cases}$
（2）$\displaystyle f(x, y)= \begin{cases}\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{4}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0 .\end{cases}$
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们分别讨论两个函数在点 $(0,0)$ 处的连续性。
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（1）
$$
f(x, y)= \begin{cases}
\displaystyle{\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0, \\
0, & x^{2}+y^{2}=0 .
\end{cases}
$$
要判断在 $(0,0)$ 处是否连续，需考察
$$
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}
$$
是否等于 $f(0,0)=0$。
利用极坐标变换：
令 $x = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta$，则
$$
\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}} = \frac{r^{3}(\cos^{3}\theta - \sin^{3}\theta)}{r^{2}} = r(\cos^{3}\theta - \sin^{3}\theta).
$$
由于 $|\cos^{3}\theta - \sin^{3}\theta| \leq 2$，故
$$
\left| r(\cos^{3}\theta - \sin^{3}\theta) \right| \leq 2r \to 0 \quad (r\to 0).
$$
因此极限为 $0$，等于函数值，故在 $(0,0)$ 处连续。
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（2）
$$
f(x, y)= \begin{cases}
\displaystyle{\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{4}}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0, \\
0, & x^{2}+y^{2}=0 .
\end{cases}
$$
考察极限
$$
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{4}}.
$$
考虑沿不同路径：
- 沿 $y = 0$：
$$
\frac{x \cdot 0}{x^{2}+0} = 0 \to 0.
$$
- 沿 $x = y^{2}$：
$$
\frac{y^{2} \cdot y^{2}}{(y^{2})^{2} + y^{4}} = \frac{y^{4}}{y^{4}+y^{4}} = \frac{1}{2} \to \frac{1}{2}.
$$
两个路径极限不同，故极限不存在。因此函数在 $(0,0)$ 处不连续。
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最终答案：
（1）在 $(0,0)$ 处连续；
（2）在 $(0,0)$ 处不连续。
难度：★★☆☆☆