人邮高数 第6章 第6-2-12题
📝 题目
12．设 $\displaystyle z=\ln \left(1+\frac{x}{y}\right)$ ，求 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(1,1)}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
已知函数
$$
z = \ln\left(1 + \frac{x}{y}\right)
$$
先将其改写为
$$
z = \ln\left(\frac{x + y}{y}\right) = \ln(x + y) - \ln y
$$
这样便于求偏导。
对 $x$ 求偏导：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{x + y}
$$
对 $y$ 求偏导：
$$
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{x + y} - \frac{1}{y}
$$
在点 $(1,1)$ 处计算偏导数值：
$$
\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,1)} = \frac{1}{1+1} = \frac12
$$
$$
\left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{(1,1)} = \frac{1}{1+1} - \frac{1}{1} = \frac12 - 1 = -\frac12
$$
因此全微分为
$$
\left.\mathrm{d}z\right|_{(1,1)} = \frac12 \,\mathrm{d}x - \frac12 \,\mathrm{d}y
$$
即
$$
\boxed{\left.\mathrm{d}z\right|_{(1,1)} = \frac12 (\mathrm{d}x - \mathrm{d}y)}
$$
难度：★☆☆☆☆