人邮高数 第6章 第6-2-3题
📝 题目
3．计算下列函数的偏导数 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}$ ．
（1）$z=\cos \left(x y^{2}\right)$ ；
（2）$z=\ln \left(x^{2}+y\right)$ ；
（3）$z=\mathrm{e}^{x+y}+y x^{2}$ ；
（4）$\displaystyle z=\arctan \frac{y}{x}$ ；
（5）$\displaystyle z=\frac{\mathrm{e}^{x y}}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{y}}$ ；
（6）$\displaystyle z=\ln \tan \frac{x}{y}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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以下为各小题的偏导数计算过程。
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（1）$z=\cos(xy^2)$
对 $x$ 求偏导（视 $y$ 为常数）：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = -\sin(xy^2) \cdot y^2 = -y^2 \sin(xy^2)
$$
对 $y$ 求偏导（视 $x$ 为常数）：
$$
\frac{\partial z}{\partial y} = -\sin(xy^2) \cdot (2xy) = -2xy \sin(xy^2)
$$
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（2）$z=\ln(x^2+y)$
对 $x$：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{x^2+y} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2+y}
$$
对 $y$：
$$
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{x^2+y} \cdot 1 = \frac{1}{x^2+y}
$$
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（3）$z=\mathrm{e}^{x+y}+y x^{2}$
对 $x$：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = \mathrm{e}^{x+y} + 2yx
$$
对 $y$：
$$
\frac{\partial z}{\partial y} = \mathrm{e}^{x+y} + x^2
$$
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（4）$\displaystyle z=\arctan\frac{y}{x}$
对 $x$：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{1+\left(\frac{y}{x}\right)^2} \cdot \left(-\frac{y}{x^2}\right)
= \frac{x^2}{x^2+y^2} \cdot \left(-\frac{y}{x^2}\right)
= -\frac{y}{x^2+y^2}
$$
对 $y$：
$$
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{1+\left(\frac{y}{x}\right)^2} \cdot \frac{1}{x}
= \frac{x^2}{x^2+y^2} \cdot \frac{1}{x}
= \frac{x}{x^2+y^2}
$$
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（5）$\displaystyle z=\frac{\mathrm{e}^{xy}}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{y}}$
对 $x$（使用商法则）：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{ y\mathrm{e}^{xy}(\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{y}) - \mathrm{e}^{xy} \cdot \mathrm{e}^{x} }{(\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{y})^2}
= \frac{ \mathrm{e}^{xy} \left[ y(\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{y}) - \mathrm{e}^{x} \right] }{(\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{y})^2}
$$
对 $y$（对称性）：
$$
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{ x\mathrm{e}^{xy}(\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{y}) - \mathrm{e}^{xy} \cdot \mathrm{e}^{y} }{(\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{y})^2}
= \frac{ \mathrm{e}^{xy} \left[ x(\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{y}) - \mathrm{e}^{y} \right] }{(\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{y})^2}
$$
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（6）$\displaystyle z=\ln\tan\frac{x}{y}$
对 $x$：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{\tan\frac{x}{y}} \cdot \sec^2\frac{x}{y} \cdot \frac{1}{y}
= \frac{1}{y} \cdot \frac{\sec^2\frac{x}{y}}{\tan\frac{x}{y}}
= \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{\sin\frac{x}{y}\cos\frac{x}{y}}
= \frac{2}{y\sin\frac{2x}{y}}
$$
对 $y$：
$$
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{\tan\frac{x}{y}} \cdot \sec^2\frac{x}{y} \cdot \left(-\frac{x}{y^2}\right)
= -\frac{x}{y^2} \cdot \frac{1}{\sin\frac{x}{y}\cos\frac{x}{y}}
= -\frac{2x}{y^2\sin\frac{2x}{y}}
$$
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难度评级：★☆☆☆☆
均为基本初等函数的偏导数计算，只需掌握链式法则与基本导数公式即可。