人邮高数 第1章 第1-5-3题
📝 题目
3．利用夹逼准则证明：
（1） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}\right)=1$ ；
（2） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{2^{n}}{n!}=0$ ；
（3） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty}\left(1+2^{n}+3^{n}\right)^{\frac{1}{n}}=3$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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习题3（1）
证明：
对于 $k=1,2,\dots,n$，有
$$
\frac{1}{\sqrt{n^2+n}} \le \frac{1}{\sqrt{n^2+k}} \le \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}.
$$
因此
$$
\frac{n}{\sqrt{n^2+n}} \le \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2+k}} \le \frac{n}{\sqrt{n^2+1}}.
$$
计算左右两端的极限：
$$
\lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt{n^2+n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}} = 1,
$$
$$
\lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt{n^2+1}} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}} = 1.
$$
由夹逼准则得
$$
\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2+k}} = 1.
$$
习题3（2）
证明：
考虑 $n\ge 2$，则
$$
\frac{2^n}{n!} = \frac{2}{1}\cdot\frac{2}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdots\frac{2}{n}.
$$
当 $n\ge 3$ 时，从第三项起每一项 $\displaystyle \frac{2}{k}\le\frac{2}{3}$，因此
$$
0 \le \frac{2^n}{n!} \le 2\cdot 1 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{n-2}.
$$
由于 $\displaystyle{\lim}_{n\to\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^{n-2}=0$，由夹逼准则得
$$
\lim_{n\to\infty} \frac{2^n}{n!}=0.
$$
习题3（3）
证明：
显然有
$$
3 = (3^n)^{\frac{1}{n}} \le \left(1+2^n+3^n\right)^{\frac{1}{n}} \le (3\cdot 3^n)^{\frac{1}{n}} = 3\cdot 3^{\frac{1}{n}}.
$$
而 $\displaystyle{\lim}_{n\to\infty} 3^{\frac{1}{n}} = 1$，因此
$$
\lim_{n\to\infty} 3\cdot 3^{\frac{1}{n}} = 3.
$$
由夹逼准则得
$$
\lim_{n\to\infty} \left(1+2^n+3^n\right)^{\frac{1}{n}} = 3.
$$