人邮高数 第6章 第6-3-31题
📝 题目
31．求函数 $z=x^{2}+y^{2}$ 在点 $(1,2)$ 处沿从该点到点 $(2,2+\sqrt{3})$ 的方向的方向导数．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
首先，函数为
$$
z = f(x,y) = x^{2} + y^{2}
$$
在点 $P(1,2)$ 处沿方向 $\vec{l}$ 的方向导数公式为
$$
\frac{\partial f}{\partial l}\bigg|_{P} = f_x(P)\cos\alpha + f_y(P)\cos\beta
$$
其中 $\cos\alpha,\cos\beta$ 是方向 $\vec{l}$ 的方向余弦。
第一步：求梯度分量
$$
f_x = \frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2}) = 2x,\quad f_y = \frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y^{2}) = 2y
$$
在点 $(1,2)$ 处：
$$
f_x(1,2) = 2,\quad f_y(1,2) = 4
$$
第二步：确定方向向量及方向余弦
从点 $(1,2)$ 到点 $(2,2+\sqrt{3})$ 的方向向量为
$$
\vec{l} = (2-1,\; 2+\sqrt{3}-2) = (1,\sqrt{3})
$$
其模长
$$
|\vec{l}| = \sqrt{1^{2} + (\sqrt{3})^{2}} = \sqrt{1+3} = 2
$$
因此方向余弦为
$$
\cos\alpha = \frac{1}{2},\quad \cos\beta = \frac{\sqrt{3}}{2}
$$
第三步：代入方向导数公式
$$
\frac{\partial f}{\partial l}\bigg|_{(1,2)} = 2 \cdot \frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 + 2\sqrt{3}
$$
因此，所求方向导数为
$$
\boxed{1 + 2\sqrt{3}}
$$
难度：★☆☆☆☆