人邮高数 第6章 第6-3-35题

[AI解答]

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首先，将函数写为指数形式以便求偏导：
$$
u = \left(\frac{x}{y}\right)^{z} = e^{z \ln\frac{x}{y}} = e^{z(\ln x - \ln y)}.
$$

我们需要方向导数：
$$
\frac{\partial u}{\partial \boldsymbol{l}}\bigg|_{(1,1,1)} = u_x \cos\alpha + u_y \cos\beta + u_z \cos\gamma,
$$
其中方向向量为 $\boldsymbol{l} = (2,1,-1)$，其模长为
$$
|\boldsymbol{l}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{6}.
$$
方向余弦为
$$
\cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{6}},\quad \cos\beta = \frac{1}{\sqrt{6}},\quad \cos\gamma = \frac{-1}{\sqrt{6}}.
$$

现在求三个偏导数在点 $(1,1,1)$ 处的值。

1. 对 $x$ 求偏导：
$$
u_x = \frac{\partial}{\partial x} e^{z(\ln x - \ln y)} = e^{z(\ln x - \ln y)} \cdot \frac{z}{x}.
$$
在点 $(1,1,1)$ 处：
$$
u_x(1,1,1) = e^{1\cdot(\ln 1 - \ln 1)} \cdot \frac{1}{1} = e^{0} \cdot 1 = 1.
$$

2. 对 $y$ 求偏导：
$$
u_y = e^{z(\ln x - \ln y)} \cdot \left( -\frac{z}{y} \right).
$$
在点 $(1,1,1)$ 处：
$$
u_y(1,1,1) = e^{0} \cdot \left( -\frac{1}{1} \right) = -1.
$$

3. 对 $z$ 求偏导：
$$
u_z = e^{z(\ln x - \ln y)} \cdot (\ln x - \ln y).
$$
在点 $(1,1,1)$ 处：
$$
u_z(1,1,1) = e^{0} \cdot (\ln 1 - \ln 1) = 0.
$$

因此，方向导数为：
$$
\frac{\partial u}{\partial \boldsymbol{l}} = 1 \cdot \frac{2}{\sqrt{6}} + (-1) \cdot \frac{1}{\sqrt{6}} + 0 \cdot \frac{-1}{\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} - \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}}.
$$

最终结果：
$$
\boxed{\dfrac{1}{\sqrt{6}}}
$$

难度：★☆☆☆☆