人邮高数 第6章 第6-3-37题
📝 题目
37．求函数 $u=x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}+3 x-2 y$ 在点 $(1,1,2)$ 处的梯度，并问在哪些点处梯度为零？
💡 答案解析
[AI解答]
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我们首先计算函数
$$
u = x^{2} + 2y^{2} + 3z^{2} + 3x - 2y
$$
的梯度。梯度定义为
$$
\nabla u = \left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z} \right)
$$
分别求偏导数：
$$
\frac{\partial u}{\partial x} = 2x + 3
$$
$$
\frac{\partial u}{\partial y} = 4y - 2
$$
$$
\frac{\partial u}{\partial z} = 6z
$$
因此梯度向量为
$$
\nabla u = (2x + 3,\; 4y - 2,\; 6z)
$$
---
**第一步：求在点 $(1,1,2)$ 处的梯度**
代入 $x=1, y=1, z=2$：
$$
\nabla u(1,1,2) = (2\cdot 1 + 3,\; 4\cdot 1 - 2,\; 6\cdot 2) = (5,\; 2,\; 12)
$$
所以该点梯度为
$$
\boxed{(5,2,12)}
$$
---
第二步：求梯度为零的点
令每个分量为零：
$$
2x + 3 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = -\frac{3}{2}
$$
$$
4y - 2 = 0 \quad\Rightarrow\quad y = \frac{1}{2}
$$
$$
6z = 0 \quad\Rightarrow\quad z = 0
$$
因此梯度为零的点是
$$
\boxed{\left(-\frac{3}{2},\ \frac{1}{2},\ 0\right)}
$$
---
难度评级：★☆☆☆☆
此题仅涉及多元函数梯度定义与简单线性方程求解，计算量小，步骤直接。