人邮高数 第6章 第6-3-4题

[AI解答]

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已知函数：
$$
z = x^{2} y - x y^{2}, \quad x = r \cos\theta, \quad y = r \sin\theta.
$$

首先，将 $x$ 和 $y$ 代入 $z$，得到 $z$ 关于 $r$ 和 $\theta$ 的显式表达式：
$$
z = (r\cos\theta)^2 (r\sin\theta) - (r\cos\theta)(r\sin\theta)^2
= r^{3}\cos^{2}\theta \sin\theta - r^{3}\cos\theta \sin^{2}\theta.
$$
提取公因式：
$$
z = r^{3} \cos\theta \sin\theta (\cos\theta - \sin\theta).
$$

现在分别求偏导数。

**求 $\displaystyle{\frac{\partial z}{\partial r}}$**：
将 $\theta$ 视为常数，对 $r$ 求导：
$$
\frac{\partial z}{\partial r} = 3r^{2} \cos\theta \sin\theta (\cos\theta - \sin\theta).
$$

**求 $\displaystyle{\frac{\partial z}{\partial \theta}}$**：
将 $r$ 视为常数，对 $\theta$ 求导。使用乘积法则：
$$
\frac{\partial z}{\partial \theta} = r^{3} \frac{\partial}{\partial\theta}\big[ \cos\theta \sin\theta (\cos\theta - \sin\theta) \big].
$$

先令 $f(\theta) = \cos\theta \sin\theta$，$g(\theta) = \cos\theta - \sin\theta$，则：
$$
f'(\theta) = -\sin^{2}\theta + \cos^{2}\theta = \cos 2\theta,
$$
$$
g'(\theta) = -\sin\theta - \cos\theta.
$$

由乘积法则：
$$
\frac{\partial}{\partial\theta}(f g) = f' g + f g'
= \cos 2\theta (\cos\theta - \sin\theta) + \cos\theta \sin\theta (-\sin\theta - \cos\theta).
$$

化简第二项：
$$
\cos\theta \sin\theta (-\sin\theta - \cos\theta) = -\cos\theta \sin^{2}\theta - \cos^{2}\theta \sin\theta.
$$

因此：
$$
\frac{\partial z}{\partial \theta} = r^{3} \big[ \cos 2\theta (\cos\theta - \sin\theta) - \cos\theta \sin^{2}\theta - \cos^{2}\theta \sin\theta \big].
$$

也可利用恒等式 $\cos 2\theta = \cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta$ 进一步化简，但上述形式已为最终结果。

最终答案为：
$$
\boxed{\frac{\partial z}{\partial r} = 3r^{2} \cos\theta \sin\theta (\cos\theta - \sin\theta)},
$$
$$
\boxed{\frac{\partial z}{\partial \theta} = r^{3} \big[ \cos 2\theta (\cos\theta - \sin\theta) - \cos\theta \sin^{2}\theta - \cos^{2}\theta \sin\theta \big]}.
$$

难度：★☆☆☆☆