人邮高数 第6章 第6-3-42题
📝 题目
42．求函数 $\displaystyle u=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}$（其中常数 $\left.a\gt 0, b\gt 0, c\gt 0\right)$ 在已知点 $M(x, y, z)$处沿此点的向径 $\boldsymbol{r}$ 的方向导数，并问当 $a 、 b 、 c$ 为何关系时，才能使方向导数等于梯度的模。
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
首先，函数为
$$
u = \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}}
$$
其中 $a>0, b>0, c>0$ 为常数。
点 $M(x,y,z)$ 处的向径为
$$
\boldsymbol{r} = x\,\boldsymbol{i} + y\,\boldsymbol{j} + z\,\boldsymbol{k}
$$
其方向余弦为
$$
\cos\alpha = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\quad
\cos\beta = \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\quad
\cos\gamma = \frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.
$$
函数 $u$ 的梯度为
$$
\operatorname{grad} u = \frac{\partial u}{\partial x}\,\boldsymbol{i}
+ \frac{\partial u}{\partial y}\,\boldsymbol{j}
+ \frac{\partial u}{\partial z}\,\boldsymbol{k}
= \frac{2x}{a^{2}}\,\boldsymbol{i}
+ \frac{2y}{b^{2}}\,\boldsymbol{j}
+ \frac{2z}{c^{2}}\,\boldsymbol{k}.
$$
沿向径 $\boldsymbol{r}$ 的方向导数为
$$
\frac{\partial u}{\partial \boldsymbol{r}}
= \frac{\partial u}{\partial x}\cos\alpha
+ \frac{\partial u}{\partial y}\cos\beta
+ \frac{\partial u}{\partial z}\cos\gamma
= \frac{2x}{a^{2}}\cdot\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}
+ \frac{2y}{b^{2}}\cdot\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}
+ \frac{2z}{c^{2}}\cdot\frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.
$$
即
$$
\frac{\partial u}{\partial \boldsymbol{r}}
= \frac{2}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}
\left( \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} \right).
$$
另一方面，梯度的模为
$$
|\operatorname{grad} u|
= \sqrt{ \left(\frac{2x}{a^{2}}\right)^{2}
+ \left(\frac{2y}{b^{2}}\right)^{2}
+ \left(\frac{2z}{c^{2}}\right)^{2} }
= 2\sqrt{ \frac{x^{2}}{a^{4}} + \frac{y^{2}}{b^{4}} + \frac{z^{2}}{c^{4}} }.
$$
题目要求方向导数等于梯度的模，即
$$
\frac{2}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}
\left( \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} \right)
= 2\sqrt{ \frac{x^{2}}{a^{4}} + \frac{y^{2}}{b^{4}} + \frac{z^{2}}{c^{4}} }.
$$
两边同时除以 2，并平方得
$$
\frac{ \left( \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} \right)^{2} }
{x^{2}+y^{2}+z^{2}}
= \frac{x^{2}}{a^{4}} + \frac{y^{2}}{b^{4}} + \frac{z^{2}}{c^{4}}.
$$
此式应对任意点 $(x,y,z)$ 成立，因此考虑比较系数。将左边展开：
$$
\left( \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} \right)^{2}
= \frac{x^{4}}{a^{4}} + \frac{y^{4}}{b^{4}} + \frac{z^{4}}{c^{4}}
+ \frac{2x^{2}y^{2}}{a^{2}b^{2}} + \frac{2y^{2}z^{2}}{b^{2}c^{2}} + \frac{2z^{2}x^{2}}{c^{2}a^{2}}.
$$
等式两边乘以 $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ 后，若要对于所有 $x,y,z$ 恒成立，则必须使交叉项系数匹配。一种简单的充分必要条件是：
$$
\frac{1}{a^{2}} = \frac{1}{b^{2}} = \frac{1}{c^{2}}
$$
即
$$
a = b = c.
$$
此时，函数变为
$$
u = \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{a^{2}},
$$
梯度方向与向径方向一致，方向导数自然等于梯度的模。
因此，当 $a = b = c$ 时，方向导数等于梯度的模。
难度：★★☆☆☆