人邮高数 第6章 第6-3-9题

[AI解答]

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首先，设中间变量：
$$
u = x + y + z, \quad v = xyz
$$
则 $ w = f(u, v) $，其中 $ f $ 具有二阶连续偏导数。

**第一步：求一阶偏导数 $\frac{\partial w}{\partial x}$**

由链式法则：
$$
\frac{\partial w}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}
$$
计算：
$$
\frac{\partial u}{\partial x} = 1, \quad \frac{\partial v}{\partial x} = yz
$$
因此：
$$
\frac{\partial w}{\partial x} = f_u \cdot 1 + f_v \cdot yz
$$
即：
$$
\boxed{\frac{\partial w}{\partial x} = f_u + yz \, f_v}
$$

**第二步：求混合偏导数 $\frac{\partial^2 w}{\partial x \partial z}$**

先对 $z$ 求偏导：
$$
\frac{\partial^2 w}{\partial x \partial z} = \frac{\partial}{\partial z} \left( f_u + yz \, f_v \right)
$$
注意 $f_u$ 和 $f_v$ 仍然是 $u = x+y+z$ 和 $v = xyz$ 的函数，因此求导时需继续使用链式法则。

先对第一项 $f_u$ 关于 $z$ 求导：
$$
\frac{\partial f_u}{\partial z} = f_{uu} \cdot \frac{\partial u}{\partial z} + f_{uv} \cdot \frac{\partial v}{\partial z}
$$
其中：
$$
\frac{\partial u}{\partial z} = 1, \quad \frac{\partial v}{\partial z} = xy
$$
所以：
$$
\frac{\partial f_u}{\partial z} = f_{uu} \cdot 1 + f_{uv} \cdot xy
$$

再对第二项 $yz \, f_v$ 关于 $z$ 求导（乘积法则）：
$$
\frac{\partial}{\partial z} (yz \, f_v) = y \cdot f_v + yz \cdot \frac{\partial f_v}{\partial z}
$$
而：
$$
\frac{\partial f_v}{\partial z} = f_{vu} \cdot \frac{\partial u}{\partial z} + f_{vv} \cdot \frac{\partial v}{\partial z} = f_{vu} \cdot 1 + f_{vv} \cdot xy
$$
由于二阶连续偏导，有 $f_{uv} = f_{vu}$。

因此第二项为：
$$
y f_v + yz (f_{vu} + xy f_{vv}) = y f_v + yz f_{vu} + x y^2 z f_{vv}
$$

第三步：合并结果

将两部分相加：
$$
\frac{\partial^2 w}{\partial x \partial z} = \left( f_{uu} + xy f_{uv} \right) + \left( y f_v + yz f_{uv} + x y^2 z f_{vv} \right)
$$
合并同类项：
$$
= f_{uu} + (xy + yz) f_{uv} + y f_v + x y^2 z f_{vv}
$$
即：
$$
\boxed{\frac{\partial^2 w}{\partial x \partial z} = f_{uu} + y(x+z) f_{uv} + y f_v + x y^2 z f_{vv}}
$$

难度：★★★☆☆