人邮高数 第6章 第6-4-13题
📝 题目
13．证明曲面 $x y z=a^{3}(a\gt 0)$ 上任一点处的切平面与坐标面围成的四面体的体积为定值．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
设曲面方程为
$$
F(x,y,z)=xyz-a^{3}=0,\quad a>0.
$$
曲面上任一点为 $P(x_0,y_0,z_0)$，满足
$$
x_0y_0z_0 = a^{3}.
$$
计算梯度：
$$
\nabla F = (yz,\;xz,\;xy),
$$
所以在点 $P$ 处的法向量为
$$
(y_0z_0,\;x_0z_0,\;x_0y_0).
$$
因此过 $P$ 的切平面方程为
$$
y_0z_0(x-x_0) + x_0z_0(y-y_0) + x_0y_0(z-z_0) = 0.
$$
整理得
$$
y_0z_0 x + x_0z_0 y + x_0y_0 z = 3x_0y_0z_0 = 3a^{3}.
$$
现在求此平面与三个坐标轴的交点。
- 令 $y=0,z=0$，得
$$
y_0z_0 x = 3a^{3} \quad\Rightarrow\quad x = \frac{3a^{3}}{y_0z_0}.
$$
由 $x_0y_0z_0=a^{3}$ 得 $y_0z_0 = \dfrac{a^{3}}{x_0}$，所以
$$
x = \frac{3a^{3}}{a^{3}/x_0} = 3x_0.
$$
即与 $x$ 轴交点为 $(3x_0,0,0)$。
- 同理，令 $x=0,z=0$，得
$$
y = 3y_0,
$$
即与 $y$ 轴交点为 $(0,3y_0,0)$。
- 令 $x=0,y=0$，得
$$
z = 3z_0,
$$
即与 $z$ 轴交点为 $(0,0,3z_0)$。
因此切平面与三个坐标面围成的四面体顶点为 $(3x_0,0,0)$、$(0,3y_0,0)$、$(0,0,3z_0)$ 及原点 $(0,0,0)$。
该四面体体积为
$$
V = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 3x_0 \cdot 3y_0\right) \cdot 3z_0
= \frac{1}{6} \cdot 27\,x_0y_0z_0
= \frac{27}{6} a^{3}
= \frac{9}{2}a^{3}.
$$
由于 $a$ 是常数，故体积与点 $P$ 的选取无关，恒为定值 $\displaystyle\frac{9}{2}a^{3}$。
难度：★★☆☆☆