人邮高数 第6章 第6-4-16题
📝 题目
16．要制造一个容积为 $4 \mathrm{~m}^{3}$ 的无盖水箱，问它的长宽高应各取什么样的尺寸时，才能使所用材料最省？
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们考虑一个无盖长方体水箱，设其长、宽、高分别为 $x$、$y$、$z$（单位：米）。
容积条件为
$$
xyz = 4
$$
所用材料即水箱的表面积（无盖，所以只有底面和四个侧面）：
$$
S = xy + 2xz + 2yz
$$
由容积条件解出 $z = \dfrac{4}{xy}$，代入表面积得
$$
S(x,y) = xy + 2x\cdot\frac{4}{xy} + 2y\cdot\frac{4}{xy}
= xy + \frac{8}{y} + \frac{8}{x}
$$
现在问题转化为求二元函数 $S(x,y)$ 在 $x>0, y>0$ 时的最小值。
先求偏导数并令其为零：
$$
\frac{\partial S}{\partial x} = y - \frac{8}{x^{2}} = 0 \quad\Rightarrow\quad y = \frac{8}{x^{2}}
$$
$$
\frac{\partial S}{\partial y} = x - \frac{8}{y^{2}} = 0 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{8}{y^{2}}
$$
将 $y = \dfrac{8}{x^{2}}$ 代入第二个方程：
$$
x = \frac{8}{\left(\frac{8}{x^{2}}\right)^{2}} = \frac{8}{\frac{64}{x^{4}}} = \frac{8x^{4}}{64} = \frac{x^{4}}{8}
$$
因此 $x^{4} = 8x$，即 $x(x^{3} - 8) = 0$，取正值得 $x = 2$。
于是 $y = \dfrac{8}{2^{2}} = 2$，再由容积得
$$
z = \frac{4}{2\times 2} = 1
$$
检查是否为极小值：计算二阶偏导数
$$
\frac{\partial^{2} S}{\partial x^{2}} = \frac{16}{x^{3}} > 0,\quad
\frac{\partial^{2} S}{\partial y^{2}} = \frac{16}{y^{3}} > 0,\quad
\frac{\partial^{2} S}{\partial x \partial y} = 1
$$
在 $(2,2)$ 处，判别式
$$
\Delta = \left(\frac{16}{8}\right)\left(\frac{16}{8}\right) - 1^{2} = 2\times 2 - 1 = 3 > 0
$$
且 $\frac{\partial^{2} S}{\partial x^{2}} > 0$，故该点为极小值点。
因此，当长、宽各取 $2\,\mathrm{m}$，高取 $1\,\mathrm{m}$ 时，所用材料最省。
难度：★★☆☆☆